(b) Defina um subespaço de um
-espaço vetorial. O eixo real de
é
-subespaço de
?
Passo 1
O enunciado pede primeiro uma definição de subespaço num
-espaço vetorial e depois questiona se o eixo real de
(isto é,
) é um subespaço de
visto como espaço vetorial sobre
. Para isso vamos usar os critérios de subespaço: conter o vetor zero, fechar-se sob soma e fechar-se sob multiplicação por escalares em
.
Passo 2
Definição: seja
um espaço vetorial sobre o corpo
. Um subconjunto
é um
-subespaço de
se, e somente se, valem:
-
. - Para quaisquer
, tem-se . - Para todo escalar
e todo , tem-se .
Passo 3
Verificamos para o eixo real
o primeiro critério: o vetor zero de
é
, que claramente está em
. Logo
.
Passo 4
Segundo critério: se tomarmos
e
em
, sua soma é
que também é real, então continua em
. Assim
é fechado sob soma.
Passo 5
Terceiro critério (fecho sob escalares em
): peguemos um escalar arbitrário
e um vetor
.
Para
estar em
, precisaríamos de
sempre. Mas, por exemplo, se escolhermos
(isto é,
) e
, obtemos
Logo
não é fechado sob multiplicação por escalares de
.
Resposta
O eixo real de
não é um
-subespaço de
, pois falha na condição de fecho sob multiplicação por escalares complexos.