(b) Defina um subespaço de um C-espaço vetorial. O eixo real de C é C-subespaço de C ?

Passo 1

O enunciado pede primeiro uma definição de subespaço num C-espaço vetorial e depois questiona se o eixo real de C (isto é, x+0,i mid xinR) é um subespaço de C visto como espaço vetorial sobre C. Para isso vamos usar os critérios de subespaço: conter o vetor zero, fechar-se sob soma e fechar-se sob multiplicação por escalares em C.

Passo 2

Definição: seja V um espaço vetorial sobre o corpo C. Um subconjunto Wsubseteq V é um C-subespaço de V se, e somente se, valem:
  1. 0Vin W.
  2. Para quaisquer u,vin W, tem-se u+vin W.
  3. Para todo escalar alphainC e todo win W, tem-se alpha,win W.

Passo 3

Verificamos para o eixo real
W = x+0,i mid xinR
o primeiro critério: o vetor zero de C é 0+0,i, que claramente está em W. Logo 0in W.

Passo 4

Segundo critério: se tomarmos x+0,i e y+0,i em W, sua soma é
(x+0,i)+(y+0,i) = (x+y)+0,i,
que também é real, então continua em W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 5

Terceiro critério (fecho sob escalares em C): peguemos um escalar arbitrário alpha=a+ b,iinC e um vetor w=x+0,iin W.
alpha,w = (a+b,i),(x+0,i) = a,x + b,x,i
Para alpha,w estar em W, precisaríamos de b,x=0 sempre. Mas, por exemplo, se escolhermos alpha = i (isto é, a=0,b=1) e w=1, obtemos
icdot 1 = 0 + 1,i = inotin W
Logo W não é fechado sob multiplicação por escalares de C.

Resposta

O eixo real de C não é um C-subespaço de C, pois falha na condição de fecho sob multiplicação por escalares complexos.

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