(a) Definimos nas aulas um espaço vetorial sobre R, mas podemos definir da mesma forma um espaço vetorial sobre C. Faça isso.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos, de modo análogo ao caso real, o que é um espaço vetorial sobre C. Vamos usar o conceito de álgebra linear: um espaço vetorial é um conjunto não-vazio com operações de soma e de multiplicação escalar que satisfazem certos axiomas.

Passo 2

Seja V um conjunto não-vazio. Definimos duas operações:
+ : V times V to V,
cdot : C times V to V
A primeira é a soma de vetores e a segunda é a multiplicação de um vetor por um escalar complexo. Para que (V,+,cdot) seja um espaço vetorial sobre C, essas operações devem satisfazer os axiomas abaixo.

Passo 3

1. Para todo u,vin V tem-se u+vin V.
2. A adição é associativa: para todo u,v,win V,
(u+v)+w = u+(v+w)
3. A adição é comutativa: para todo u,vin V,
u+v = v+u
4. Existe elemento neutro 0in V tal que, para todo vin V,
v + 0 = v
5. Para cada vin V existe inverso -vin V com
v + (-v) = 0
6. Para todo alphainC e vin V tem-se alphacdot vin V.
7. Compatibilidade de escalares: para todo alpha,betainC e vin V,
(alpha beta)cdot v = alphacdot(betacdot v)
8. Neutro escalar: para todo vin V,
1cdot v = v,
onde 1 é a unidade em C.
9. Distributividade em relação à soma de vetores: para todo alphainC e u,vin V,
alphacdot(u+v) = alphacdot u ;+;alphacdot v
10. Distributividade em relação à soma de escalares: para todo alpha,betainC e vin V,
(alpha+beta)cdot v = alphacdot v ;+;betacdot v

Resposta

Um espaço vetorial sobre C é um conjunto V não-vazio com operações
+ : V times V to V e cdot : Ctimes V to V
que satisfazem os dez axiomas listados no passo 3.

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