(a) Definimos nas aulas um espaço vetorial sobre
, mas podemos definir da mesma forma um espaço vetorial sobre
. Faça isso.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos, de modo análogo ao caso real, o que é um espaço vetorial sobre
. Vamos usar o conceito de álgebra linear: um espaço vetorial é um conjunto não-vazio com operações de soma e de multiplicação escalar que satisfazem certos axiomas.
Passo 2
Seja
um conjunto não-vazio. Definimos duas operações:
A primeira é a soma de vetores e a segunda é a multiplicação de um vetor por um escalar complexo. Para que
seja um espaço vetorial sobre
, essas operações devem satisfazer os axiomas abaixo.
Passo 3
1. Para todo
tem-se
.
2. A adição é associativa: para todo ,
2. A adição é associativa: para todo
3. A adição é comutativa: para todo
,
4. Existe elemento neutro
tal que, para todo
,
5. Para cada
existe inverso
com
6. Para todo
e
tem-se
.
7. Compatibilidade de escalares: para todo e
,
7. Compatibilidade de escalares: para todo
8. Neutro escalar: para todo
,
onde
é a unidade em
.
9. Distributividade em relação à soma de vetores: para todo e
,
9. Distributividade em relação à soma de vetores: para todo
10. Distributividade em relação à soma de escalares: para todo
e
,
Resposta
Um espaço vetorial sobre
é um conjunto
não-vazio com operações
que satisfazem os dez axiomas listados no passo 3.