Seja Mn, n(R) o espaço vetorial das matrizes n times n. Para cada dos seguintes subconjuntos W de Mn, n(R), decida se W é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em M2,2(R) que mostra que não é.
B in Mn, n(R) mid A B neq B A com A in Mn, n(R) uma matriz fixa.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
W = ,Bin Mn,n(R)mid A,B neq B,A
é um subespaço de Mn,n(R), onde A é fixa. Como Mn,n(R) é um espaço vetorial, para W ser subespaço precisamos que:
1. 0in W.
2. Se B1,B2in W então B1+B2in W.
3. Se Bin W e lambdainR então lambda Bin W.

Passo 2

Note que a matriz zero ,0 satisfaz
Acdot 0 = 0 = 0cdot A,
ou seja, comuta com A. Logo 0notin W. Como todo subespaço deve conter o vetor zero, concluímos já aqui que W não pode ser subespaço.

Passo 3

Para dar um contraexemplo explícito em M2,2(R), basta ver falha de fechamento em adição. Tome
A = 1 & 0 [6pt] 0 & 2, B1 = 0 & 1 [3pt] 0 & 0
Calculamos
A,B1 = 0 & 1 [3pt] 0 & 0, B1,A = 0 & 2 [3pt] 0 & 0,
logo A,B1 neq B1,A, isto é, B1in W. Agora tome B2 = -B1. De modo análogo B2in W. Mas
B1 + B2 = 0,
e vimos que 0notin W. Assim B1,B2in W mas B1+B2notin W, confirmando que W não é fechado sob adição.]

Resposta

W não é subespaço de Mn,n(R).

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