Seja
o espaço vetorial das matrizes
. Para cada dos seguintes subconjuntos
de
, decida se
é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em
que mostra que não é.
com
uma matriz fixa.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se
é um subespaço de
, onde
é fixa. Como
é um espaço vetorial, para
ser subespaço precisamos que:
.
.
. Se
então
.
. Se
e
então
.
Passo 2
Note que a matriz zero
satisfaz
ou seja, comuta com
. Logo
. Como todo subespaço deve conter o vetor zero, concluímos já aqui que
não pode ser subespaço.
Passo 3
Para dar um contraexemplo explícito em
, basta ver falha de fechamento em adição. Tome
Calculamos
logo
, isto é,
. Agora tome
. De modo análogo
. Mas
e vimos que
. Assim
mas
, confirmando que
não é fechado sob adição.]