Seja
o espaço vetorial das matrizes
. Para cada dos seguintes subconjuntos
de
, decida se
é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em
que mostra que não é.
O conjunto das matrizes simétricas
O conjunto das matrizes simétricas
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial das matrizes
reais, denotado por
, e o subconjunto
das matrizes simétricas. Para mostrar que
é subespaço vetorial, precisamos conferir três propriedades:
-
(contém a matriz zero), - fechado sob soma,
- fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
satisfaz
satisfaz
logo
e
não é vazio.
Passo 3
Sejam
. Então
Calculamos a transposta da soma:
portanto
, isto é,
é fechado sob soma.
Passo 4
Seja
e
. Como
, temos
logo
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto das matrizes simétricas é subespaço de
.