Seja Mn, n(R) o espaço vetorial das matrizes n times n. Para cada dos seguintes subconjuntos W de Mn, n(R), decida se W é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em M2,2(R) que mostra que não é.
O conjunto das matrizes simétricas

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial das matrizes ntimes n reais, denotado por Mn,n(R), e o subconjunto
W = A in Mn,n(R) mid A^T = A
das matrizes simétricas. Para mostrar que W é subespaço vetorial, precisamos conferir três propriedades:
  1. Wneqvarnothing (contém a matriz zero),
  2. fechado sob soma,
  3. fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero
,0in Mn,n(R)
satisfaz
0^T = 0,
logo 0in W e W não é vazio.

Passo 3

Sejam A,Bin W. Então
A^T = A e B^T = B
Calculamos a transposta da soma:
(A + B)^T = A^T + B^T = A + B,
portanto A+Bin W, isto é, W é fechado sob soma.

Passo 4

Seja lambdainR e Ain W. Como A^T = A, temos
(lambda A)^T = lambda ,A^T = lambda A,
logo lambda Ain W. Assim, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto das matrizes simétricas é subespaço de Mn,n(R).

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