Se A=(2,-1,2) e B=(1,2,-2), determinar dois vectores C e D de V_{3} verificando as seguintes condições: A=C+D, B \cdot D=0, C paralelo a B.

Passo 1

O enunciado dá os vetores A=(2,-1,2) e B=(1,2,-2) em \mathbb{R}^3 e pede C e D tais que
  1. A=C+D,
  2. B\cdot D=0,
  3. C é paralelo a B.
    Este é um problema de decomposição ortogonal: escrevemos A como soma de um componente paralelo a B e de um componente ortogonal a B.

Passo 2

Como C é paralelo a B, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
C=\lambda B.
Então
D = A - C = A - \lambda B.
Para satisfazer B\cdot D=0, impomos
B\cdot(A - \lambda B)=0 \;\Longrightarrow\; B\cdot A \;-\;\lambda\,(B\cdot B)=0 \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{B\cdot A}{B\cdot B}.

Passo 3

Calculamos os produtos internos:
B\cdot A = 1\cdot2 + 2\cdot(-1) + (-2)\cdot2 = -4,
B\cdot B = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 9.
Logo \displaystyle \lambda = -\tfrac{4}{9}.

Passo 4

Substituindo em C=\lambda B, temos
C = -\tfrac{4}{9}\,(1,2,-2) = \Bigl(-\tfrac{4}{9},-\tfrac{8}{9},\tfrac{8}{9}\Bigr).

Passo 5

Então
D = A - C = \Bigl(2,-1,2\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{4}{9},-\tfrac{8}{9},\tfrac{8}{9}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{22}{9},-\tfrac{1}{9},\tfrac{10}{9}\Bigr).
E de fato
B\cdot D = 1\cdot\tfrac{22}{9} + 2\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{9}\Bigr) + (-2)\cdot\tfrac{10}{9} =0.

Resposta

C = \bigl(-\tfrac{4}{9},-\tfrac{8}{9},\tfrac{8}{9}\bigr) D = \bigl(\tfrac{22}{9},-\tfrac{1}{9},\tfrac{10}{9}\bigr)

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