Se A=(1,2,3,4,5) e B=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}\right), determinar dois vectores C e D de V_{5} verificando todas as condições seguintes: B=C+2 D, D \cdot A=0, C paralelo a A.

Passo 1

O enunciado pede encontrar vetores C e D em V_{5} tais que B = C + 2D, D \cdot A = 0 e C seja paralelo a A.
Isso equivale à decomposição de B na parte paralela a A (que será C) e na parte perpendicular a A (que será 2D).

Passo 2

Como C é paralelo a A, escrevemos
C = \alpha\,A
para algum escalar \alpha.
Então, de B = C + 2D segue
D = \frac{B - \alpha A}{2}\,.

Passo 3

Impondo D\cdot A=0 temos
A\cdot D = A\cdot\frac{B - \alpha A}{2} = \frac{A\cdot B - \alpha\,(A\cdot A)}{2} =0
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A\cdot B \;-\;\alpha\,(A\cdot A)=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \frac{A\cdot B}{A\cdot A}\,.

Passo 4

Calculamos
A\cdot B = 1\cdot1 + 2\cdot\tfrac12 + 3\cdot\tfrac13 + 4\cdot\tfrac14 + 5\cdot\tfrac15 = 5,
A\cdot A = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55.
Portanto
\alpha = \frac{5}{55} = \frac{1}{11}\,.

Passo 5

Substituindo \alpha em C e D obtemos
C = \frac{1}{11}(1,2,3,4,5) = \Bigl(\tfrac{1}{11},\tfrac{2}{11},\tfrac{3}{11},\tfrac{4}{11},\tfrac{5}{11}\Bigr),
D = \frac{1}{2}\Bigl(1,\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14,\tfrac15\Bigr) - \frac{1}{2}C = \Bigl(\tfrac{5}{11},\,\tfrac{7}{44},\,\tfrac{1}{33},\,-\tfrac{5}{88},\,-\tfrac{7}{55}\Bigr).
É imediato conferir que B=C+2D e A\cdot D=0.

Resposta

C = \bigl(\tfrac{1}{11},\tfrac{2}{11},\tfrac{3}{11},\tfrac{4}{11},\tfrac{5}{11}\bigr) D = \bigl(\tfrac{5}{11},\tfrac{7}{44},\tfrac{1}{33},-\tfrac{5}{88},-\tfrac{7}{55}\bigr)

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