t(x)=cc (x-3)(x+1), & se x <= 2 x-2, & se x >= 2
b) Determine, caso exista, o lim x 2 t(x). Caso não exista, justifique a sua resposta.
c) A função t é contínua em x=2 ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
t(x)= (x-3)(x+1),&se x<=2, x-2,&se x>=2,
e pede em (b) o valor de limxto2t(x) e em (c) verificar se t é contínua em x=2. Para isso, vamos calcular os limites laterais em x=2 e comparar com o(s) valor(es) de t(2).

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda, isto é, limxto2^-t(x). Como x<2 usamos o ramo (x-3)(x+1), logo
limxto2^-t(x) =limxto2^-(x-3)(x+1) =(2-3),(2+1) =-1cdot3 =-3

Passo 3

Calculamos o limite pela direita, isto é, limxto2^+t(x). Como x>2 usamos o ramo x-2, logo
limxto2^+t(x) =limxto2^+(x-2) =2-2 =0

Passo 4

Como
limxto2^-t(x)=-3 e limxto2^+t(x)=0,
os limites laterais são diferentes. Logo não existe limxto2t(x).

Passo 5

Para t ser contínua em x=2 seria necessário que limxto2t(x) existisse e fosse igual a t(2). Mas vimos que o limite não existe, portanto t não é contínua em x=2.

Resposta

b) O limite limxto2t(x) não existe, pois os limites laterais valem -3 e 0, respectivamente.
c) A função não é contínua em x=2, já que o limite em 2 não existe (logo não pode coincidir com t(2)).

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