Considere a transformação linear
T(x, y, z)=(x-2 y+z, 2 x+y-3 z, 3 x-y-2 z)
Determine uma base para a imagem de T e a sua dimensão.

Passo 1

O enunciado pede a imagem de uma transformação linear T: R^3to R^3 dada por
T(x,y,z) = (x-2y+z,;2x+y-3z,;3x-y-2z)
Para encontrar uma base de Im(T) e sua dimensão, vamos usar a matriz de T em relação à base canônica e determinar seu posto.

Passo 2

A matriz associada a na base canônica é
de modo que .

Passo 3

Para achar o posto de , fazemos eliminação de Gauss:
Aqui vemos dois pivôs, logo .

Passo 4

Como o posto é 2, a dimensão de Im(T) é 2. Uma base pode ser formada pelas colunas de A correspondentes aos pivôs na eliminação, isto é, as colunas 1 e 2:
(1,2,3),;(-2,1,-1)

Resposta

A base de Im(T) é
(1,2,3),;(-2,1,-1),
e dim(Im(T))=2.

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