Considere a transformação linear
Determine o núcleo de
e a sua dimensão.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
Queremos encontrar o núcleo de
, isto é, o conjunto de vetores
tais que
, e em seguida determinar a dimensão desse núcleo.
Passo 2
Para achar o núcleo, montamos o sistema homogêneo
Em forma matricial, isso equivale a
Passo 3
Aplicamos eliminação de Gauss em
A :
Partindo de
l[,1;-2;1mid0;;2;1;-3mid0;;3;-1;-2mid0r] ,
fazemos
Partindo de
fazemos
obtendo
Em seguida
gera a linha nula e sobra o sistema equivalente
Passo 4
Da segunda equação temos
5y - 5z = 0 , logo
Substituindo em
x - 2y + z = 0 dá
Portanto todos os vetores do núcleo satisfazem
x = y = z . Podemos parametrizar por
t = z :
Isto mostra que
Passo 5
O núcleo é gerado por um único vetor
(1,1,1) , então sua dimensão é igual a
1 .
Resposta
O núcleo de
T é
e
dim(ker(T)) = 1 .