Considere a transformação linear
T(x, y, z)=(x-2 y+z, 2 x+y-3 z, 3 x-y-2 z)
Determine o núcleo de T e a sua dimensão.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (,x - 2y + z,;2x + y - 3z,;3x - y - 2z,)
Queremos encontrar o núcleo de T, isto é, o conjunto de vetores (x,y,z) tais que T(x,y,z) = (0,0,0), e em seguida determinar a dimensão desse núcleo.

Passo 2

Para achar o núcleo, montamos o sistema homogêneo
Em forma matricial, isso equivale a

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss em A:
Partindo de
l[,1;-2;1mid0;;2;1;-3mid0;;3;-1;-2mid0r],
fazemos
R2 R2 - 2R1, R3 R3 - 3R1,
obtendo
l[,1;-2;1mid0;;0;5;-5mid0;;0;5;-5mid0r]
Em seguida
R3 R3 - R2
gera a linha nula e sobra o sistema equivalente
x - 2y + z = 0, 5y - 5z = 0

Passo 4

Da segunda equação temos 5y - 5z = 0, logo
y = z
Substituindo em x - 2y + z = 0
x - 2z + z = 0 Longrightarrow x = z
Portanto todos os vetores do núcleo satisfazem x = y = z. Podemos parametrizar por t = z:
(x,y,z) = (t,t,t) = t,(1,1,1), tinR
Isto mostra que
ker(T) = ,t,(1,1,1)mid tinR

Passo 5

O núcleo é gerado por um único vetor (1,1,1), então sua dimensão é igual a 1.

Resposta

O núcleo de T é
ker(T) = ,t,(1,1,1)mid tinR,
e dim(ker(T)) = 1.

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