b) Determine as raízes da equação sen(pi x)+cos (pi x)=1 no intervalo [-2,2].

Passo 1

O enunciado pede as soluções de
sin(pi x) + cos(pi x) = 1
no intervalo [-2,2].
O conteúdo aqui é resolver uma equação trigonométrica, e vamos usar a técnica de juntar seno e cosseno num mesmo termo usando fator de amplitude e fase.

Passo 2

Defina theta = pi x. Então queremos
sintheta + costheta = 1
Podemos escrever sintheta + costheta como
raiz2,sin!l(theta + pi4r),
pois raiz1^2+1^2=raiz2 e o deslocamento de fase é phi=pi/4. Logo a equação vira
raiz2,sin!l(theta + tfracpi4r)=1 ;;Longrightarrow;; sin!l(theta + tfracpi4r)=1raiz2

Passo 3

Soluções de sin u=1/raiz2 são
u = pi4 + 2pi k ou u = 3pi4 + 2pi k,
com kinZ. Aqui u=theta + tfracpi4, então
theta + pi4 = pi4 + 2pi k ;Longrightarrow; theta = 2pi k,
ou
theta + pi4 = 3pi4 + 2pi k ;Longrightarrow; theta = pi2 + 2pi k

Passo 4

Voltando a x, como theta=pi x temos as duas famílias de soluções:
pi x = 2pi k ;Longrightarrow; x = 2k,
pi x = pi2 + 2pi k ;Longrightarrow; x = 12 + 2k,
para todo kinZ.

Passo 5

Agora impomos -2<= x<=2.
Para x=2k temos 2kin[-2,2], logo k=-1,0,1 e
xin-2,,0,,2
Para x=tfrac12+2k temos tfrac12+2kin[-2,2]. Verificando k=-1,0,1 só dão
k=-1Rightarrow x=-tfrac32, k=0Rightarrow x=tfrac12,
pois k=1 2,5 fora do intervalo e k=-2 -3,5 fora. Logo
xinl-tfrac32,;tfrac12r
Juntando tudo, as soluções em [-2,2] são
x = -2,,-tfrac32,,0,,tfrac12,,2

Resposta

-2,;-tfrac32,;0,;tfrac12,;2.

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