Entre 4 e 5 horas, os ponteiros de um relógio formam ângulo reto em dois momentos. Determine o horário desses momentos.

Passo 1

O enunciado pede os instantes entre 4 e 5 horas em que os ponteiros formam ângulo reto, ou seja, 90^circ. Para isso, vamos modelar as posições angulares do ponteiro das horas e do dos minutos como funções do tempo e usar a condição de ângulo relativo.

Passo 2

Seja t o número de minutos após as 4:00.
O ponteiro dos minutos gira a 6^circ por minuto, então sua posição em relação ao meio-dia é
thetam = 6t
O ponteiro das horas parte de 4times30^circ=120^circ às 4:00 e gira a 0,5^circ por minuto, logo
thetah = 120 + 0,5t

Passo 3

Queremos
l|thetam - thetahr| = 90
Isso gera duas equações lineares:
6t - l(120 + 0,5tr) = 90
e
120 + 0,5t - 6t = 90

Passo 4

Resolvendo a primeira:
6t - 120 - 0,5t = 90 Longrightarrow 5,5,t = 210 Longrightarrow t = 2105,5 = 42011approx38,1818
Resolvendo a segunda:
120 + 0,5t - 6t = 90 Longrightarrow -5,5,t = -30 Longrightarrow t = 305,5 = 6011approx5,4545
Ambos estão em (0,60), valem.

Passo 5

Convertemos em minutos e segundos:
t1 = 6011 min = 5 min + 511times60 sapprox5 min 27,27 s,
t2 = 42011 min = 38 min + 211times60 sapprox38 min 10,91 s

Resposta

4:05:27,27 e 4:38:10,91.

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