Sendo f(x)=arccos (x+2), determine:
uma expressão para a função inversa f^-1 com domínio e imagem adequados

Passo 1

O enunciado dá f(x)=arccos(x+2) e pede uma expressão para a inversa f^-1, indicando também seu domínio e sua imagem. Vamos (1) achar o domínio de f, (2) achar a imagem de f, (3) resolver y=arccos(x+2) para obter f^-1 e (4) indicar o domínio e a imagem de f^-1.

Passo 2

Para que arccos(x+2) esteja definido, é preciso ter
x+2in[-1,1]
Isso implica
-1<= x+2<=1 Longrightarrow -3<= x<=-1
Logo, o domínio de f é l[-3,-1r].

Passo 3

A função arccos tem imagem l[0,pir] quando seu argumento varia em [-1,1]. Como x+2 cobre todo [-1,1] quando x percorre [-3,-1], a imagem de f é
fl([-3,-1]r) = [0,pi]

Passo 4

Para achar f^-1, começamos definindo y=f(x), isto é
y = arccos(x+2)
Aplicando o cosseno em ambos os lados,
cos(y) = x+2 Longrightarrow x = cos(y)-2
Portanto
f^-1(y) = cos(y)-2

Passo 5

Como y era a imagem de f, o domínio de f^-1 é [0,pi]. E como cos(y) varia de 1 (em y=0) até -1 (em y=pi), temos
cos(y)-2in[-1-2,;1-2]=[-3,-1]
Logo, a imagem de f^-1 é [-3,-1].

Resposta

f^-1(x) = cos(x) - 2,
dom,f^-1 = [0,pi], im,f^-1 = [-3,-1]

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