Dada f(x)=1-|2 sen(pi2 x)|, determine:
domínio, imagem e zeros da função

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=1-l|2senl(tfracpi2xr)r|
e pede o domínio, a imagem (conjunto de valores que f assume) e os zeros (valores de x tais que f(x)=0). Vamos usar propriedades da função seno e das transformações de valor absoluto e afins para resolver.

Passo 2

Para o domínio observamos que senl(tfracpi2xr) está definido para todo xinR. Como f(x) é obtida a partir de operações contínuas (multiplicação, valor absoluto e subtração) sobre sen, não surgem restrições adicionais.
Portanto,
Domínio=R í

Passo 3

Para encontrar a imagem, note que
senl(tfracpi2xr)in[-1,1]
logo
2senl(tfracpi2xr)in[-2,2] Longrightarrow l|2senl(tfracpi2xr)r|in[0,2]
Como
f(x)=1-l|2senl(tfracpi2xr)r|,
o maior valor ocorre quando o módulo vale 0 e o menor quando vale 2. Assim
f(x)in[,1-2,;1-0,]=[-1,1],
isto é,
Ima>=m=[-1,1]

Passo 4

Os zeros satisfazem
f(x)=0 Long<=ftrightarrow 1-l|2senl(tfracpi2xr)r|=0 Long<=ftrightarrow l|senl(tfracpi2xr)r|=tfrac12
Chamando theta=tfracpi2x, resolvemos
|sentheta|=tfrac12 Longrightarrow theta = kpi + tfracpi6 ou theta = kpi + tfrac5pi6, kinZ
Voltando a x,
tfracpi2x = kpi + tfracpi6 ;Longrightarrow; x = 2k + tfrac13,
tfracpi2x = kpi + tfrac5pi6 ;Longrightarrow; x = 2k + tfrac53
Logo os zeros são
,2k+tfrac13 : kinZ;cup;,2k+tfrac53 : kinZ

Resposta

Domínio: R
Imagem: [-1,1]
Zeros: ,2k+tfrac13 : kinZcup,2k+tfrac53 : kinZ

Exercícios relacionados