(b) Determine um vetor não-nulo ortogonal ao plano que passa por P(-2,0,4), Q(1,3,- 2) e R(0,3,5) e calcule a área do triângulo P Q R.

Passo 1

O enunciado pede dois itens para o triângulo PQR:
1. Um vetor não-nulo ortogonal ao plano que contém os pontos P(-2,0,4), Q(1,3,-2) e R(0,3,5).
2. A área do triângulo PQR.
Para isso vamos usar dois conceitos principais de geometria vetorial:
  • Vetores de posição relativos, como PQ e PR.
  • Produto vetorial para obter um vetor ortogonal ao plano e o valor da sua magnitude, que está relacionado à área do paralelogramo formado por PQ e PR. A área do triângulo é metade dessa magnitude.

Passo 2

Calcular os vetores de aresta do triângulo:
PQ = Q - P = (1-(-2),,3-0,,-2-4) = (3,;3,;-6),
PR = R - P = (0-(-2),,3-0,;5-4) = (2,;3,;1)

Passo 3

Determinar o produto vetorial PQtimesPR, que é ortogonal ao plano PQR:
PQtimesPR = i & j & k 3 & 3 & -6 2 & 3 & 1 = i(3cdot1 - (-6)cdot3) - j(3cdot1 - (-6)cdot2) + k(3cdot3 - 3cdot2)
= i(3 + 18) - j(3 + 12) + k(9 - 6) = (21,,-15,;3)

Passo 4

Podemos simplificar esse vetor, dividindo por 3, para obter um vetor não-nulo mais simples e ainda ortogonal ao plano:
n = (7,,-5,;1)
Esse n é ortogonal ao plano determinado por P,Q,R.

Passo 5

A área do triângulo PQR é metade da magnitude do produto vetorial:
|PQtimesPR| = raiz21^2 + (-15)^2 + 3^2 = raiz441 + 225 + 9 = raiz675 = 15raiz3
Logo,
Áreatriang<= PQR = 12 |PQtimesPR| = 12 ,15raiz3 = 152,raiz3 Á

Resposta

Vetor normal não-nulo ao plano: n = (7,-5,1).
Área do triângulo PQR: 152raiz3.

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