Mostre que:
(b) |u times v|=|u| cdot|v| se, e somente se, u e v forem perpendiculares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
|vec u times vec v| ;=;|vec u|;|vec v|
se, e somente se, vec u e vec v forem perpendiculares.
O conteúdo principal é a relação entre o módulo do produto vetorial e o ângulo theta entre os vetores. Vamos usar a fórmula
|vec u times vec v| = |vec u|;|vec v|;|sintheta|
e o fato de que vetores são perpendiculares quando theta=90^circ.

Passo 2

Recordando ou derivando a partir da definição em componentes, obtém-se a relação conhecida de geometria vetorial: o módulo de vec utimesvec v é a área do paralelogramo formado por vec u e vec v. Assim vale
|vec u times vec v| = |vec u|;|vec v|;|sintheta|,
onde theta é o ângulo orientado entre vec u e vec v, com 0<=theta<=pi.

Passo 3

( Rightarrow) Suponha que
|vec u times vec v| = |vec u|;|vec v|
Pela fórmula acima, isso implica
|vec u|;|vec v|;|sintheta| = |vec u|;|vec v| Longrightarrow |sintheta| = 1
Como thetain[0,pi], a única solução é theta=90^circ. Logo vec u e vec v são perpendiculares.

Passo 4

( Leftarrow) Agora, se vec u e vec v são perpendiculares, então o ângulo entre eles é theta=90^circ, e portanto sintheta=1. Substituindo na fórmula temos
|vec u times vec v| = |vec u|;|vec v|;|sin 90^circ| = |vec u|;|vec v|

Resposta

Ficou demonstrado que
|vec u times vec v| = |vec u|;|vec v|
se, e somente se, vec u e vec v forem perpendiculares.

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