Mostre que:
(b)
se, e somente se,
e
forem perpendiculares.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
se, e somente se,
e
forem perpendiculares.
O conteúdo principal é a relação entre o módulo do produto vetorial e o ângulo entre os vetores. Vamos usar a fórmula
O conteúdo principal é a relação entre o módulo do produto vetorial e o ângulo
e o fato de que vetores são perpendiculares quando
.
Passo 2
Recordando ou derivando a partir da definição em componentes, obtém-se a relação conhecida de geometria vetorial: o módulo de
é a área do paralelogramo formado por
e
. Assim vale
onde
é o ângulo orientado entre
e
, com
.
Passo 3
(
) Suponha que
Pela fórmula acima, isso implica
Como
, a única solução é
. Logo
e
são perpendiculares.
Passo 4
(
) Agora, se
e
são perpendiculares, então o ângulo entre eles é
, e portanto
. Substituindo na fórmula temos
Resposta
Ficou demonstrado que
se, e somente se,
e
forem perpendiculares.