Dado o espaço vetorial R^4, considere os conjuntos de vetores U=u1, u2, u3 e V=v1, v2, v3 (contidos no espaço) e um vetor genérico z in R^4 definido por z=(z1, z2, z3, z4).
I. Determine o subespaço R^2 gerado pelos vetores u1, u2 em termos das restrições sobre as componentes de z.
II. Determine o subespaço R^3 gerado pelos vetores u1, u2, u3 em termos das restrições sobre as componentes de z.
III. Determine a condição que um vetor u4=(a, b, c, d) deve satisfazer para que quando adicionado a U ele forme um conjunto linearmente independente.
IV. Determine quais vetores de V podem ser adicionados a U para formar uma base de R^4. Os conjuntos U e V atribuídos a cada aluno estão dispostos na TABELA I.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas em R^4:
I. Descrever o subespaço gerado por u1,u2 em termos de restrições sobre z=(z1,z2,z3,z4).
II. Descrever o subespaço gerado por u1,u2,u3 em termos de restrições sobre z.
III. Encontrar a condição sobre u4=(a,b,c,d) para que u1,u2,u3,u4 seja linearmente independente.
IV. Identificar quais vetores em V=v1,v2,v3 podem ser acrescentados a U para formar uma base de R^4.
Para executar qualquer um desses itens, precisamos das coordenadas explícitas de u1,u2,u3 e de v1,v2,v3, que estão na TABELA I.

Passo 2

Sem as coordenadas fornecidas na TABELA I não há como:
  • calcular spans nem escrever equações que definam esses subespaços,
  • formular a condição de linearidade independente para u4,
  • nem verificar quais vi completam U a uma base de R^4.

Resposta

Não é possível resolver os itens I–IV sem conhecer as coordenadas explícitas dos vetores em U e V (informação contida na TABELA I).

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