A e B disputam uma série de partidas. Ganha um prêmio quem primeiro completar 10 vitórias. A é mais habilidoso do que
, sendo de 0,6 a probabilidade de
ganhar uma partida e de 0,4 a probabilidade de
ganhar uma partida. No momento o placar está
a favor de B. Qual é a probabilidade de
ganhar o prêmio?
Passo 1
Entendendo a Questão e o Conteúdo Envolvido
Vamos lá! A gente tem dois jogadores, A e B, que estão competindo para ver quem chega primeiro a 10 vitórias. Atualmente, A já ganhou 7 partidas e B ganhou 4. A probabilidade de A ganhar qualquer partida é de 60% (ou 0,6) e a de B é de 40% (ou 0,4).
Conteúdo que vamos usar:
- Probabilidade Condicional: para calcular a chance de A ganhar o prêmio considerando o placar atual.
- Distribuição Binomial Negativa: que nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos antes de um número específico de falhas.
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Definindo o que Precisamos Calcular
A situação atual é que A tem 7 vitórias e B tem 4. Para A ganhar o prêmio, ele precisa de 3 vitórias a mais (já que 7 + 3 = 10). Já B precisa de 6 vitórias a mais (4 + 6 = 10).
Então, queremos saber a probabilidade de A conseguir 3 vitórias antes que B consiga 6.
Passo 3
Entendendo a Distribuição Binomial Negativa
A distribuição binomial negativa nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento acontecer um número específico de vezes antes de outro evento acontecer um certo número de vezes.
No nosso caso:
- Sucessos (S): A ganhar uma partida (probabilidade = 0,6).
- Falhas (F): B ganhar uma partida (probabilidade = 0,4).
Queremos a probabilidade de A alcançar 3 sucessos antes que B alcance 6 falhas.
Passo 4
Calculando a Probabilidade Usando a Fórmula da Binomial Negativa
A fórmula para calcular essa probabilidade é:
Onde:
- $ m = 3 $ (vitórias que A precisa)
- $ n = 6 $ (vitórias que B precisa)
- $ p = 0,6 $ (probabilidade de A ganhar uma partida)
Vamos calcular cada termo dessa soma para $ k $ de 0 a 5 (porque $ n - 1 = 5 $).
Passo 5
Calculando Cada Termo da Soma
Vamos calcular cada termo individualmente:
-
Para $ k = 0 $:
-
Para $ k = 1 $:
-
Para $ k = 2 $:
-
Para $ k = 3 $:
-
Para $ k = 4 $:
-
Para $ k = 5 $:
Passo 6
Somando Todos os Termos para Encontrar a Probabilidade Final
Agora, vamos somar todos esses valores:
Resposta
A probabilidade de A ganhar o prêmio é de aproximadamente 95%.