A e B disputam uma série de partidas. Ganha um prêmio quem primeiro completar 10 vitórias. A é mais habilidoso do que B, sendo de 0,6 a probabilidade de A ganhar uma partida e de 0,4 a probabilidade de B ganhar uma partida. No momento o placar está 7 times 4 a favor de B. Qual é a probabilidade de A ganhar o prêmio?

Passo 1

Entendendo a Questão e o Conteúdo Envolvido
Vamos lá! A gente tem dois jogadores, A e B, que estão competindo para ver quem chega primeiro a 10 vitórias. Atualmente, A já ganhou 7 partidas e B ganhou 4. A probabilidade de A ganhar qualquer partida é de 60% (ou 0,6) e a de B é de 40% (ou 0,4).
Conteúdo que vamos usar:
  • Probabilidade Condicional: para calcular a chance de A ganhar o prêmio considerando o placar atual.
  • Distribuição Binomial Negativa: que nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos antes de um número específico de falhas.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Definindo o que Precisamos Calcular
A situação atual é que A tem 7 vitórias e B tem 4. Para A ganhar o prêmio, ele precisa de 3 vitórias a mais (já que 7 + 3 = 10). Já B precisa de 6 vitórias a mais (4 + 6 = 10).
Então, queremos saber a probabilidade de A conseguir 3 vitórias antes que B consiga 6.

Passo 3

Entendendo a Distribuição Binomial Negativa
A distribuição binomial negativa nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento acontecer um número específico de vezes antes de outro evento acontecer um certo número de vezes.
No nosso caso:
  • Sucessos (S): A ganhar uma partida (probabilidade = 0,6).
  • Falhas (F): B ganhar uma partida (probabilidade = 0,4).
Queremos a probabilidade de A alcançar 3 sucessos antes que B alcance 6 falhas.

Passo 4

Calculando a Probabilidade Usando a Fórmula da Binomial Negativa
A fórmula para calcular essa probabilidade é:
P = sumk=0^n-1 binomm + k - 1k cdot p^m cdot (1-p)^k
Onde:
  • $ m = 3 $ (vitórias que A precisa)
  • $ n = 6 $ (vitórias que B precisa)
  • $ p = 0,6 $ (probabilidade de A ganhar uma partida)
Vamos calcular cada termo dessa soma para $ k $ de 0 a 5 (porque $ n - 1 = 5 $).

Passo 5

Calculando Cada Termo da Soma
Vamos calcular cada termo individualmente:
  1. Para $ k = 0 $:
    k = 0
  2. Para $ k = 1 $:
    binom20 cdot 0,6^3 cdot 0,4^0 = 1 cdot 0,216 cdot 1 = 0,216
  3. Para $ k = 2 $:
    k = 1
  4. Para $ k = 3 $:
    binom31 cdot 0,6^3 cdot 0,4^1 = 3 cdot 0,216 cdot 0,4 = 0,2592
  5. Para $ k = 4 $:
    k = 2
  6. Para $ k = 5 $:
    binom42 cdot 0,6^3 cdot 0,4^2 = 6 cdot 0,216 cdot 0,16 = 0,20736

Passo 6

Somando Todos os Termos para Encontrar a Probabilidade Final
Agora, vamos somar todos esses valores:
0,216 + 0,2592 + 0,20736 + 0,13824 + 0,082944 + 0,046447 approx 0,950191

Resposta

A probabilidade de A ganhar o prêmio é de aproximadamente 95%.

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