Cristina e Maria, que não são pessoas muito pontuais, marcaram um encontro às 16 horas. Se cada uma delas chegará ao encontro em um instante qualquer entre 16 e 17 horas e se dispõe a esperar no máximo 10 minutos pela outra, qual é a probabilidade delas se encontrarem?
Passo 1
Então, vamos lá! Temos Cristina e Maria que marcaram um encontro às 16 horas, mas ambas não são muito pontuais. Cada uma pode chegar em qualquer momento entre 16 e 17 horas, e cada uma vai esperar no máximo 10 minutos pela outra. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de elas realmente se encontrarem. Vamos usar conceitos de probabilidade e geometria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o período entre 16 e 17 horas como um intervalo de 60 minutos. Vamos chamar o tempo que Cristina leva para chegar de $ X $ e o tempo que Maria leva para chegar de $ Y $. Ambos os tempos são variáveis aleatórias uniformes entre 0 e 60 minutos, ou seja, qualquer minuto nesse intervalo é igualmente provável para a chegada de cada uma.
Passo 3
Para que elas se encontrem, a diferença entre os tempos de chegada delas precisa ser de, no máximo, 10 minutos. Matemáticamente, isso significa que o valor absoluto da diferença $ |X - Y| $ deve ser menor ou igual a 10 minutos:
Passo 4
Vamos representar isso graficamente. Imagine um quadrado onde o eixo horizontal representa o tempo $ X $ de Cristina e o eixo vertical representa o tempo $ Y $ de Maria, ambos de 0 a 60 minutos. A condição $ |X - Y| \leq 10 $ forma uma faixa central no quadrado onde a diferença entre $ X $ e $ Y $ é de até 10 minutos.
Passo 5
Para calcular a probabilidade, precisamos achar a área dessa faixa central e dividir pela área total do quadrado. A área total do quadrado é:
Passo 6
A faixa onde $ |X - Y| \leq 10 $ pode ser visualizada como o quadrado menos dois triângulos nos cantos onde a diferença é maior que 10 minutos. Cada triângulo tem base e altura de 50 minutos (já que 60 - 10 = 50). A área de um triângulo é:
Passo 7
Como temos dois desses triângulos, a área total que não satisfaz a condição é:
Passo 8
Então, a área que satisfaz $ |X - Y| \leq 10 $ é:
Passo 9
A probabilidade de elas se encontrarem é a razão entre a área favorável e a área total:
Resposta
A probabilidade de Cristina e Maria se encontrarem é
, aproximadamente 30,56%.