Encontre f^prime(x) e f^prime prime(x).
X27
ll 7 f(x)=(x^3+1) e^x & 28 f(x)=raizx e^x

Passo 1

Temos duas funções para diferenciar: (1) f(x)= (x^3+1)e^x e (2) f(x)= raizx,e^x. O conteúdo principal é a regra do produto e a derivada da exponencial e^x.

Passo 2

Na regra do produto, se f(x)=u(x),v(x), então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), e para a segunda derivada aplicamos outra vez a regra do produto ao resultado de f'(x).

Passo 3

Para a função f(x)=(x^3+1)e^x: definimos u(x)=x^3+1 e v(x)=e^x. Então
u'(x)=3x^2, v'(x)=e^x

Passo 4

Aplicando
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x^2)e^x+(x^3+1)e^x=(x^3+3x^2+1)e^x

Passo 5

Para f''(x) derivamos f'(x)=(x^3+3x^2+1)e^x vendo u1(x)=x^3+3x^2+1 e v(x)=e^x. Assim
u1'(x)=3x^2+6x, e
f''(x)=u1'(x)e^x+u1(x)e^x=(3x^2+6x)e^x+(x^3+3x^2+1)e^x=(x^3+6x^2+6x+1)e^x

Passo 6

Agora para f(x)=raizx,e^x: definimos u(x)=x^1/2,;u'(x)=tfrac12x^-1/2,;v(x)=e^x,;v'(x)=e^x. Então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=l(tfrac12x^-1/2r)e^x+(x^1/2)e^x=l(tfrac12raizx+raizxr)e^x

Passo 7

Para a segunda derivada, note que f'(x)=w(x)e^x com w(x)=tfrac12x^-1/2+x^1/2. Calculamos w'(x)=-tfrac14x^-3/2+tfrac12x^-1/2 e aplicamos produto:
f''(x)=w'(x)e^x+w(x)e^x=l(-tfrac14x^-3/2+x^-1/2+x^1/2r)e^x

Resposta

Para f(x)=(x3+1)ex: f’(x)=(x3+3x2+1)e^x e f’’(x)=(x3+6x2+6x+1)e^x.
Para f(x)=\sqrt{x},e^x: f’(x)=\bigl(\tfrac1{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\bigr)e^x e f’’(x)=\bigl(-\tfrac14x{-3/2}+x{-1/2}+x{1/2}\bigr)ex.

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