(b) Encontre u(x) não constante tal que y2(x)=x^2 u(x) também é solução da EDO x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de Euler
x^2y''-3x,y'+4y=0
e já sabemos que y1(x)=x^2 é uma solução. O objetivo é encontrar outra solução independente da forma
y2(x)=x^2,u(x)
com u(x) não constante. Vamos usar o método de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro escrevemos a EDO na forma padrão
y''+P(x),y'+Q(x),y=0,
dividindo tudo por x^2. Assim
P(x)=-3x, Q(x)=4x^2
Agora assumimos
y2(x)=y1(x),u(x)=x^2,u(x)
e calculamos suas derivadas.

Passo 3

Derivando y2 em função de u:
y2' = (x^2)',u + x^2,u' = 2x,u + x^2,u',
y2'' = (2x,u + x^2,u')' =2,u + 2x,u' + 2x,u' + x^2,u'' =2,u +4x,u' + x^2,u''
Substituindo em x^2y''-3x,y'+4y=0:
x^2(2u+4x,u'+x^2u'')-3x(2x,u+x^2u')+4(x^2u)=0

Passo 4

Expandindo e agrupando termos em u'',u' e u:
2x^2u+4x^3u'+x^4u''-6x^2u-3x^3u'+4x^2u=0 ;Longrightarrow; x^4u''+x^3u'+0cdot u=0
Dividindo por x^3:
x,u''+u'=0 ;Long<=ftrightarrow; l(x,u'r)'=0
Integrando:
x,u' = C1 Longrightarrow u'=C1x Longrightarrow u(x)=C1ln x + C2

Passo 5

Para obter uma solução y2 independente de y1, escolhemos C1=1 e C2=0. Assim
u(x)=ln x
e
y2(x)=x^2ln x

Resposta

u(x)=ln x

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