Resolva as equações diferenciais:
y^prime=cos (x) cos ^2(2 y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = cos(x),cos^2l(2yr)
O conteúdo aqui é equação diferencial separável: vamos separar as variáveis y e x e depois integrar cada lado.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dycos^2l(2yr) = cos(x),dx
Repare que cos^-2(2y)=sec^2(2y), então
integral sec^2l(2yr),dy = integral cos(x),dx

Passo 3

Calcule cada integral. Do lado esquerdo, use integral sec^2(u),du = tan(u) com u=2y, o que dá
integral sec^2l(2yr),dy = 12,tanl(2yr)
Do lado direito,
integral cos(x),dx = sin(x)
Logo, após a integração e incluindo a constante C, obtemos
12,tanl(2yr) = sin(x) + C

Passo 4

Multiplique ambos os lados por 2 e isole tan(2y):
tanl(2yr) = 2,l[sin(x) + Cr]
Por fim, aplicando a função arco-tangente e dividindo por 2,
y(x) = 12,arctan!l(2,sin(x) + C1r),
onde C1 é constante arbitrária.

Resposta

y(x) = 12,arctan!l(2,sin(x) + C1r),
ou de forma implícita
tanl(2yr) = 2,sin(x) + C

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