(c) Resolva o PVI ly^prime prime+3 y^prime+2 y=5 e^-t y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo y'' + 3y' + 2y = 5 e^-t com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 . O conteúdo que vamos usar aqui é resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termos forçados. Para isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: y'' + 3y' + 2y = 0 . Para isso, a gente assume uma solução da forma y = e^rt e substitui na equação:
r^2 e^rt + 3r e^rt + 2 e^rt = 0
Como e^rt nunca é zero, podemos simplificar para a equação característica:
r^2 + 3r + 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica r^2 + 3r + 2 = 0 . Podemos fatorar:
(r + 1)(r + 2) = 0
Assim, as raízes são r = -1 e r = -2 . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação completa y'' + 3y' + 2y = 5 e^-t . Observando o termo forçado 5 e^-t , que já é uma solução da homogênea, vamos tentar uma solução particular do tipo yp(t) = A t e^-t .
Calculando as derivadas:
yp' = A e^-t - A t e^-t
yp'' = -2A e^-t + A t e^-t
Substituindo na equação:
(-2A e^-t + A t e^-t) + 3(A e^-t - A t e^-t) + 2(A t e^-t) = 5 e^-t
Simplificando:
(-2A + 3A) e^-t + (A - 3A + 2A) t e^-t = 5 e^-t
A e^-t = 5 e^-t
Então, A = 5 . Portanto, a solução particular é:
yp(t) = 5 t e^-t

Passo 5

Agora, combinamos a solução geral da homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t + 5 t e^-t
Vamos aplicar as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 .
Primeiro, para y(0) = 0 :
0 = C1 + C2 + 0 Rightarrow C1 + C2 = 0
Segundo, calculamos y'(t) :
y'(t) = -C1 e^-t - 2C2 e^-2t + 5 e^-t - 5 t e^-t
Aplicando y'(0) = 0 :
0 = -C1 - 2C2 + 5
Como C1 = -C2 , substituímos na equação:
0 = -(-C2) - 2C2 + 5 Rightarrow C2 - 2C2 + 5 = 0 Rightarrow -C2 + 5 = 0 Rightarrow C2 = 5
Então, C1 = -5 .

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = -5 e^-t + 5 e^-2t + 5 t e^-t

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