(c) Resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termos forçados. Para isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, a gente assume uma solução da forma
e substitui na equação:
Como
nunca é zero, podemos simplificar para a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos fatorar:
Assim, as raízes são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observando o termo forçado
, que já é uma solução da homogênea, vamos tentar uma solução particular do tipo
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então,
. Portanto, a solução particular é:
Passo 5
Agora, combinamos a solução geral da homogênea com a solução particular:
Vamos aplicar as condições iniciais
e
.
Primeiro, para
:
Segundo, calculamos
:
Aplicando
:
Como
, substituímos na equação:
Então,
.
Resposta
A solução do problema é: