Considere f: R-1 R dada por f(x)=llx^2, & se x<1 2 x, & se x>1. Calcule lim x 1^+ f(x) e lim x 1^- f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função [f: \mathbb{R} \setminus {1} \rightarrow \mathbb{R}) definida por:
O objetivo aqui é calcular os limites laterais dessa função quando e . Vamos precisar entender o que é um limite lateral e como aplicar isso nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa limx 1^+ f(x) . Esse limite é chamado de limite à direita, ou seja, estamos observando o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1.
Na nossa função, para x > 1 , f(x) = 2x . Então, para encontrar limx 1^+ f(x) , basta substituir x por 1 na expressão 2x :
limx 1^+ f(x) = limx 1^+ 2x = 2 times 1 = 2

Passo 3

Agora, vamos calcular limx 1^- f(x) , que é o limite à esquerda. Isso significa que estamos vendo o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1.
Para x < 1 , a função é definida por f(x) = x^2 . Portanto, substituindo x por 1 na expressão x^2 :
limx 1^- f(x) = limx 1^- x^2 = 1^2 = 1

Resposta

limx 1^+ f(x) = 2 e limx 1^- f(x) = 1

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