(b) Encontre uma solução particular para a EDO y^prime prime+3 y^prime+2 y=5 e^-t.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução particular da EDO não homogênea
y'' + 3y' + 2y = 5e^-t
O conteúdo é o método dos coeficientes a determinar para equações lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro identificamos a parte homogênea
y'' + 3y' + 2y = 0
cuja equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0
com raízes r = -1 e r = -2. Como o termo forçante é e^-t e -1 é raiz simples, o ansatz para a solução particular é
yp(t) = A,t,e^-t,

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp:
yp = A,t,e^-t, yp' = A(1 - t)e^-t, yp'' = A(t - 2)e^-t
Substituímos na EDO:
yp'' + 3yp' + 2yp = A(t - 2)e^-t + 3A(1 - t)e^-t + 2A,t,e^-t = Al[t - 2 + 3(1 - t) + 2tr]e^-t = A,e^-t

Passo 4

Para que isso seja igual a 5e^-t precisamos de
A,e^-t = 5,e^-t Longrightarrow A = 5

Resposta

A solução particular é
yp(t) = 5,t,e^-t

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