Um objeto preso a uma mola tem sua posição (em metros) descrita pela EDO
, onde o tempo
é medido em segundos. Sabendo-se que o objeto é colocado em movimento
abaixo da sua posição de equilíbrio e empurrado para baixo com uma velocidade de
, encontre a solução geral da equação diferencial, resolva o problema de valor inicial, determine a amplitude, a frequência e a fase do movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um objeto preso a uma mola e sua posição ao longo do tempo é descrita pela equação diferencial
. O problema envolve conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especialmente aquelas que modelam movimentos harmônicos simples. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa EDO e depois aplicar as condições iniciais para achar a solução específica. Também vamos determinar a amplitude, frequência e fase desse movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O objetivo aqui é encontrar uma função
que satisfaça essa equação para todos os valores de
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é um número que precisamos achar. Substituindo essa forma na equação diferencial:
Então, a equação fica:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, temos que
. Portanto:
Passo 4
Encontramos as raízes complexas
. Quando as raízes são complexas do tipo
, a solução geral da EDO é dada por:
No nosso caso,
e
, então a solução geral simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
. As condições dadas são:
Primeiro, calculemos
:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada
para usar a segunda condição inicial:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever a solução específica da equação diferencial:
Passo 8
Agora, vamos determinar a amplitude, frequência e fase do movimento. A solução pode ser reescrita na forma padrão de um movimento harmônico simples:
Para encontrar
e
, comparamos com a forma que temos:
Usando identidades trigonométricas, sabemos que:
Para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Aplicando as condições iniciais, a solução específica é:
A amplitude do movimento é
metros, a frequência é
Hz e a fase é
radianos.