Um objeto preso a uma mola tem sua posição (em metros) descrita pela EDO u^prime prime(t)+2 u(t)= 0, onde o tempo t é medido em segundos. Sabendo-se que o objeto é colocado em movimento 1 m abaixo da sua posição de equilíbrio e empurrado para baixo com uma velocidade de 4 m/s, encontre a solução geral da equação diferencial, resolva o problema de valor inicial, determine a amplitude, a frequência e a fase do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um objeto preso a uma mola e sua posição ao longo do tempo é descrita pela equação diferencial u''(t) + 2u(t) = 0 . O problema envolve conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especialmente aquelas que modelam movimentos harmônicos simples. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa EDO e depois aplicar as condições iniciais para achar a solução específica. Também vamos determinar a amplitude, frequência e fase desse movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial u''(t) + 2u(t) = 0 . Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O objetivo aqui é encontrar uma função u(t) que satisfaça essa equação para todos os valores de t .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos supor que a solução tem a forma u(t) = e^rt , onde r é um número que precisamos achar. Substituindo essa forma na equação diferencial:
u''(t) = r^2 e^rt
Então, a equação fica:
r^2 e^rt + 2 e^rt = 0
Podemos fatorar e^rt :
e^rt(r^2 + 2) = 0
Como e^rt nunca é zero, temos que r^2 + 2 = 0 . Portanto:
r^2 = -2 implies r = pm raiz-2 = pm iraiz2

Passo 4

Encontramos as raízes complexas r = pm iraiz2 . Quando as raízes são complexas do tipo alpha pm ibeta , a solução geral da EDO é dada por:
u(t) = e^alpha t(C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t))
No nosso caso, alpha = 0 e beta = raiz2 , então a solução geral simplifica para:
u(t) = C1 cos(raiz2 t) + C2 sin(raiz2 t)

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 e C2 . As condições dadas são:
u(0) = -1 e u'(0) = -4
Primeiro, calculemos u(0) :
u(0) = C1 cos(0) + C2 sin(0) = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 = C1
Portanto, C1 = -1 .

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada u'(t) para usar a segunda condição inicial:
u'(t) = -C1 raiz2 sin(raiz2 t) + C2 raiz2 cos(raiz2 t)
Substituindo t = 0 :
u'(0) = -C1 raiz2 sin(0) + C2 raiz2 cos(0) = -C1 raiz2 cdot 0 + C2 raiz2 cdot 1 = C2 raiz2
Sabemos que u'(0) = -4 , então:
C2 raiz2 = -4 implies C2 = -4raiz2 = -2raiz2

Passo 7

Com os valores de C1 e C2 encontrados, podemos escrever a solução específica da equação diferencial:
u(t) = -cos(raiz2 t) - 2raiz2 sin(raiz2 t)

Passo 8

Agora, vamos determinar a amplitude, frequência e fase do movimento. A solução pode ser reescrita na forma padrão de um movimento harmônico simples:
u(t) = A cos(raiz2 t + phi)
Para encontrar A e phi , comparamos com a forma que temos:
-cos(raiz2 t) - 2raiz2 sin(raiz2 t) = A cos(raiz2 t + phi)
Usando identidades trigonométricas, sabemos que:
A = raizC1^2 + C2^2 = raiz(-1)^2 + (-2raiz2)^2 = raiz1 + 8 = raiz9 = 3
Para encontrar phi :
phi = arctan(-C2C1) = arctan(2raiz21)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
u(t) = -cos(raiz2, t) - 2raiz2, sin(raiz2, t)
Aplicando as condições iniciais, a solução específica é:
u(t) = 3 cos(raiz2, t + arctan(2raiz21))
A amplitude do movimento é 3 metros, a frequência é raiz22pi Hz e a fase é arctan(2raiz2) radianos.

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