Determine se as seguintes séries são divergentes ou convergentes. No caso de convergência diga ainda se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos (k \pi)}{k} R .:

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos(k\pi)}{k}
é convergente ou divergente. Se convergente, devo dizer se é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente.
Informações dadas:
  • A soma é sobre k=1,2,3,\dots.
  • O termo geral é \dfrac{\cos(k\pi)}{k}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o termo usando uma identidade trigonométrica simples. Para todo inteiro k vale
\cos(k\pi)=(-1)^k.
Portanto a série fica
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos(k\pi)}{k}=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k}.
Isto escreve a série como uma série alternada (os sinais alternam entre positivo e negativo).

Passo 3

Vou analisar a convergência absoluta primeiro. A série das magnitudes dos termos é
\sum_{k=1}^{+\infty} \left|\frac{(-1)^k}{k}\right|=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k},
que é a famosa série harmônica. É conhecido (e vou relembrar uma demonstração simples) que a série harmônica diverge.
Demonstração da divergência da série harmônica por agrupamento (argumento clássico, fácil de lembrar na prova):
  • Agrupando termos em blocos com número de termos potência de 2: 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
  • Em cada bloco a soma é maior ou igual a um meio: por exemplo \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}, e \frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\ge 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}, e assim por diante.
  • Logo, somando n blocos obtemos pelo menos 1+\frac{1}{2}+ (n-1)\cdot\frac{1}{2}, que cresce sem limite quando n\to\infty. Portanto a série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} diverge.
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 4

Agora verifico a convergência condicional usando o teste da série alternada (teste de Leibniz). Este teste diz: se (b_k) é uma sequência positiva com b_{k+1}\le b_k para todo k (monótona decrescente) e \lim_{k\to\infty} b_k=0, então a série alternada \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k b_k converge.
Aqui podemos tomar b_k=\dfrac{1}{k}. Verifico as hipóteses:
  • b_k>0 para todo k.
  • b_{k+1}=\dfrac{1}{k+1}\le \dfrac{1}{k}=b_k, logo é decrescente.
  • \lim_{k\to\infty} b_k=\lim_{k\to\infty}\dfrac{1}{k}=0.
Portanto, pela regra de Leibniz, a série
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k}
converge.
Juntando com o resultado do passo anterior (não absoluta), concluímos que a série converge condicionalmente.

Passo 5

Para completar, se quiser saber o valor da soma: é útil lembrar a série de Taylor de \ln(1+x) centrada em 0:
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n},\qquad\text{para }-1<x\le 1.
Tomando x=1 (o ponto x=1 é permitido porque a série é alternada e converge), obtemos
\ln 2=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}.
A nossa série é \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}, que difere por um sinal:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}=-\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{k}=-\ln 2.
Assim o valor da soma é -\ln 2 (essa parte é um extra — a questão original pedia apenas convergência/divergência e tipo).

Passo 6

Recapitulando de forma curta e amigável: a série é alternada, seus termos em módulo são 1/k que vão a zero e são decrescentes, então converge (teste de Leibniz). Mas a série dos módulos é a harmônica, que diverge, então não é absolutamente convergente. Conclusão: converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente (não é absolutamente convergente); seu valor é -\ln 2.

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