b) Explique em que situação \mathrm{K}_{\mathrm{p}} será igual a \mathrm{K}_{\mathrm{c}}.

Passo 1

O enunciado pede que eu explique em que situação \mathrm{K}_{\mathrm{p}} será igual a \mathrm{K}_{\mathrm{c}}.
Informações/condições relevantes que vamos usar (não são suposições inventadas, são as ferramentas que o enunciado implica):
  • Existem duas constantes de equilíbrio diferentes para reações com gases: \mathrm{K}_{\mathrm{p}} (escrita em termos de pressões parciais) e \mathrm{K}_{\mathrm{c}} (escrita em termos de concentrações molares).
  • Vou considerar uma reação balanceada qualquer envolvendo espécies gasosas (se houver sólidos ou líquidos, eles não entram nas expressões de equilíbrio).
  • Vou usar a lei dos gases ideais para relacionar pressão e concentração.

Passo 2

Defino uma reação geral gasosa balanceada para trabalhar com símbolos simples e universais:
aA(g) + bB(g) \rightleftharpoons cC(g) + dD(g).
Aqui:
  • a,b,c,d são os coeficientes estequiométricos (números inteiros não-negativos).
  • A,B,C,D são espécies químicas que, neste caso, são gases (se alguma for sólido/líquido, ela não aparece nas expressões de \mathrm{K}_p e \mathrm{K}_c).
As definições das constantes de equilíbrio são:
\mathrm{K}_{\mathrm{p}}=\frac{P_C^{\,c}P_D^{\,d}}{P_A^{\,a}P_B^{\,b}} \qquad\text{e}\qquad \mathrm{K}_{\mathrm{c}}=\frac{[C]^{\,c}[D]^{\,d}}{[A]^{\,a}[B]^{\,b}}.
Explicando os símbolos:
  • P_X é a pressão parcial da espécie X (unidade por exemplo em \mathrm{atm} ou \mathrm{Pa}).
  • [X] é a concentração molar da espécie X (por exemplo em \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}).

Passo 3

Relaciono pressão parcial e concentração usando a lei dos gases ideais aplicada à parcela molar de cada gás. Para um gás ideal vale:
P_X = [X]\,R\,T,
onde:
  • R é a constante dos gases (por exemplo R=0{,}08206\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} se P em atm e [X] em \mathrm{mol\cdot L^{-1}});
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
    Essa relação vem de \;P=\dfrac{n}{V}RT\; e [X]=\dfrac{n_X}{V}.

Passo 4

Faço a substituição de P_X=[X]RT em \mathrm{K}_{\mathrm{p}}. Começo escrevendo:
\mathrm{K}_{\mathrm{p}}=\frac{( [C]RT)^{c}( [D]RT)^{d}}{( [A]RT)^{a}( [B]RT)^{b}}.
Agora fatoro as potências:
\mathrm{K}_{\mathrm{p}}=\frac{[C]^{c}[D]^{d}}{[A]^{a}[B]^{b}}\times (RT)^{\,c+d-a-b}.
Reconheço a primeira fração como \mathrm{K}_{\mathrm{c}} e defino a variação do número de mols gasosos:
\Delta n = (c+d) - (a+b).
Portanto obtenho a relação padrão:
\mathrm{K}_{\mathrm{p}}=\mathrm{K}_{\mathrm{c}}\,(RT)^{\Delta n}.
Expliquei cada passo: a potência de RT aparece porque cada pressão é convertida em concentração multiplicando por RT; o expoente é a soma das potências dos produtos menos a soma das potências dos reagentes.

Passo 5

Da relação \mathrm{K}_{\mathrm{p}}=\mathrm{K}_{\mathrm{c}}\,(RT)^{\Delta n} concluí quando \mathrm{K}_{\mathrm{p}}=\mathrm{K}_{\mathrm{c}}. Igualando,
\mathrm{K}_{\mathrm{p}}=\mathrm{K}_{\mathrm{c}} \quad\Longleftrightarrow\quad (RT)^{\Delta n}=1.
Como RT>0 em condições usuais, a condição simples e geral é
\Delta n = 0.
Interpretação física e prática:
  • \Delta n=0 significa que a soma dos coeficientes estequiométricos das espécies gasosas produtos é igual à soma das dos reagentes — ou seja, o número total de mols gasosos não muda com a reação.
  • Em reações que envolvem sólidos ou líquidos, esses não entram em \Delta n; só contar os gases.
  • A validade da relação e da conclusão assume comportamento de gás ideal (ou seja, usamos P=[X]RT).

Passo 6

Dou exemplos e observo exceções/observações úteis para prova:
  • Exemplo que satisfaz \Delta n=0: \; \mathrm{H}_2(g)+\mathrm{I}_2(g)\rightleftharpoons 2\mathrm{HI}(g). Aqui \Delta n=2-(1+1)=0, logo \mathrm{K}_p=\mathrm{K}_c para qualquer T (dado o modelo de gás ideal).
  • Exemplo que não satisfaz: \; \mathrm{N}_2(g)+3\mathrm{H}_2(g)\rightleftharpoons 2\mathrm{NH}_3(g). Aqui \Delta n=2-(1+3)=-2, então \mathrm{K}_p=\mathrm{K}_c(RT)^{-2} e, em geral, \mathrm{K}_p\neq\mathrm{K}_c.
  • Observação sobre unidades: a relação usa um valor de R coerente com as unidades de P e [X]. Não faça a armadilha de achar que \mathrm{K}_p=\mathrm{K}_c apenas porque em alguma unidade numérica RT=1; isso é dependente de unidade e não é a razão física usada normalmente.
  • Limitação: se os gases não se comportam idealmente, a expressão precisa de fugacidades; a conclusão \Delta n=0 continua qualitativamente válida como condição necessária para cancelamento dos fatores atividade/pressão idealizada, mas a forma exata muda.

Resposta

Quando \Delta n=0, isto é, quando a variação do número de mols gasosos entre produtos e reagentes é zero (assumindo comportamento de gás ideal).

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