b) Se
for contínua e
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função contínua $ f $ e sabe que a integral de $ f(x) $ de
a
é igual a
. A tarefa é calcular a integral
. Para resolver isso, vamos usar uma técnica de substituição em integrais, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas transformando-as em algo mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir $ x = 3 \cos t $. Isso significa que queremos expressar a integral em termos de $ x $ em vez de $ t $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ x $ em relação a $ t $ para substituir $ dt $. Derivando $ x = 3 \cos t $, temos:
Isso implica que:
Passo 4
Também precisamos mudar os limites de integração de $ t $ para $ x $. Quando $ t = 0 $:
Quando $ t = \pi $:
Então, os novos limites de integração são de $ x = 3 $ a $ x = -3 $.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Simplificando os sinais e os limites de integração:
Passo 6
Sabemos pelo enunciado que:
Substituindo isso na nossa expressão:
Resposta
O valor da integral
é
.