b) Se f for contínua e integral-3^3 f(x) d x=-2, calcule integral0^pi f(3 cos t) sen t d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função contínua $ f $ e sabe que a integral de $ f(x) $ de f a f(x) é igual a -3. A tarefa é calcular a integral 3. Para resolver isso, vamos usar uma técnica de substituição em integrais, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas transformando-as em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir $ x = 3 \cos t $. Isso significa que queremos expressar a integral em termos de $ x $ em vez de $ t $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ x $ em relação a $ t $ para substituir $ dt $. Derivando $ x = 3 \cos t $, temos:
x
Isso implica que:
t

Passo 4

Também precisamos mudar os limites de integração de $ t $ para $ x $. Quando $ t = 0 $:
t
Quando $ t = \pi $:
x
Então, os novos limites de integração são de $ x = 3 $ a $ x = -3 $.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^pi f(3 cos t) sin t , dt = integral3^-3 f(x) (-dx3)
Simplificando os sinais e os limites de integração:
= 13 integral-3^3 f(x) , dx

Passo 6

Sabemos pelo enunciado que:
integral-3^3 f(x) , dx = -2
Substituindo isso na nossa expressão:
13 times (-2) = -23

Resposta

O valor da integral integral0^pi f(3 cos t) sin t , dt é -23.

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