(a) mdc(a^2, b^2)=[mdc(a, b)]^2.
(b) mmc(a^2, b^2)=[mmc(a, b)]^2.
(c) Generalize.

Passo 1

O enunciado pede para provar
gcd(a^2,b^2)=[gcd(a,b)]^2 e lcm(a^2,b^2)=[lcm(a,b)]^2,
e depois generalizar. Vamos usar a decomposição via gcd e a relação
a = d,a', b = d,b', d=gcd(a,b), gcd(a',b')=1,
além da fórmula
lcm(x,y),gcd(x,y)=|x,y|

Passo 2

Prova de gcd(a^2,b^2)=[gcd(a,b)]^2:
Como gcd(a,b)=d, escrevemos a=d,a' e b=d,b' com gcd(a',b')=1. Então
gcd(a^2,b^2) =gcdl(d^2a'^2,;d^2b'^2r) =d^2,gcd(a'^2,b'^2)
Mas gcd(a',b')=1 implica gcd(a'^2,b'^2)=1. Logo
gcd(a^2,b^2)=d^2=[gcd(a,b)]^2

Passo 3

Prova de lcm(a^2,b^2)=[lcm(a,b)]^2:
Usamos
lcm(x,y)=|x,y|gcd(x,y)
Para x=a^2 e y=b^2 obtemos
lcm(a^2,b^2) =|a^2b^2|gcd(a^2,b^2) =(ab)^2[gcd(a,b)]^2 =l(abgcd(a,b)r)^2 =[lcm(a,b)]^2

Passo 4

Generalização: Para todo inteiro k>=1 vale
gcd(a^k,b^k)=[gcd(a,b)]^k, lcm(a^k,b^k)=[lcm(a,b)]^k
Mais ainda, para quaisquer a1,dots,arinZ e k>=1 temos
gcd(a1^k,dots,ar^k) =l[gcd(a1,dots,ar)r]^k, lcm(a1^k,dots,ar^k) =l[lcm(a1,dots,ar)r]^k

Resposta

(a) gcd(a^2,b^2)=[gcd(a,b)]^2.
(b) lcm(a^2,b^2)=[lcm(a,b)]^2.
(c) Para todo k>=1:
gcd(a^k,b^k)=[gcd(a,b)]^k e lcm(a^k,b^k)=[lcm(a,b)]^k.

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