Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
y=2 x cos x-3 sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função y = 2x cos x - 3 sin x . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando as regras de derivação de funções que envolvem produtos e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto e as derivadas das funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira parte da função: 2x cos x . Essa é uma multiplicação entre 2x e cos x , então usamos a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v' .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
  • u = 2x e u' = 2 (derivada de 2x )
  • v = cos x e v' = -sin x (derivada de cos x )
Então, a derivada de 2x cos x é:
u' cdot v + u cdot v' = 2 cdot cos x + 2x cdot (-sin x) = 2cos x - 2xsin x

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda parte da função: -3 sin x . A derivada de sin x é cos x , então:
ddx [-3 sin x] = -3 cos x

Passo 5

Finalmente, juntamos as derivadas das duas partes:
dydx = (2cos x - 2xsin x) + (-3cos x)
dydx = (2cos x - 3cos x) - 2xsin x
dydx = -cos x - 2xsin x

Resposta

A derivada da função é dydx = -cos x - 2x sin x .

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