S-3.48 Sejam a e b inteiros e n um número natural. Mostre que se a times b é uma potência n-ésima e mdc(a, b)=1, então a e b são potências n-ésimas.

Passo 1

O enunciado diz que temos inteiros a e b e um natural n tais que atimes b é uma potência n-ésima, e que gcd(a,b)=1. Precisamos mostrar que então a e b também são, cada um, uma potência n-ésima. Vamos usar a decomposição em fatores primos e a unicidade dessa decomposição (Teorema Fundamental da Aritmética).

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, escrevemos a fatoração prima de a e de b:
a = prodi pi^alphai, b = prodj qj^betaj,
onde pi e qj são primos e alphai,betaj>=0 são seus expoentes. Como gcd(a,b)=1, não há primo comum a a e b; isto é, o conjunto pi é disjunto de qj.

Passo 3

Então a fatoração de ab é
ab = prodi pi^alphai;times;prodj qj^betaj = prodk rk^gammak,
em que rk=picupqj e cada expoente gammak é ou algum alphai ou algum betaj. Como ab é uma potência n-ésima, todos os gammak são múltiplos de n:
gammak equiv 0 pmod n

Passo 4

Para cada primo pi que divide a, seu expoente em ab é alphai, logo alphaiequiv0pmod n. Isso mostra que
a = prodi pi^alphai = prodi l(pi^alphai/nr)^n
é uma n-ésima potência. De modo análogo, cada betajequiv0pmod n e
b = prodj qj^betaj = prodj l(qj^betaj/nr)^n
também é uma n-ésima potência.

Resposta

Portanto, existem inteiros x e y tais que
a = x^n e b = y^n

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