S-3.48 Sejam
e
inteiros e
um número natural. Mostre que se
é uma potência
-ésima e
, então
e
são potências
-ésimas.
Passo 1
O enunciado diz que temos inteiros
e
e um natural
tais que
é uma potência
-ésima, e que
. Precisamos mostrar que então
e
também são, cada um, uma potência
-ésima. Vamos usar a decomposição em fatores primos e a unicidade dessa decomposição (Teorema Fundamental da Aritmética).
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, escrevemos a fatoração prima de
e de
:
onde
e
são primos e
são seus expoentes. Como
, não há primo comum a
e
; isto é, o conjunto
é disjunto de
.
Passo 3
Então a fatoração de
é
em que
e cada expoente
é ou algum
ou algum
. Como
é uma potência
-ésima, todos os
são múltiplos de
:
Passo 4
Para cada primo
que divide
, seu expoente em
é
, logo
. Isso mostra que
é uma
-ésima potência. De modo análogo, cada
e
também é uma
-ésima potência.
Resposta
Portanto, existem inteiros
e
tais que