O deslocamento angular de um pêndulo simples é dado por Theta(t)=Theta- m cos (omega t+varphi). Se o pêndulo tem 45 cm de comprimento e a velocidade angular d Theta / dt=3,4 rad / s no instante t=0, em que o fio está na vertical, qual é o valor de Theta- m ?
a. 4,6 rad
b. 3,4 rad
c. 1,4 rad
O d. 0,73 rad
e. 0,45 rad
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Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos lidando com o deslocamento angular de um pêndulo simples, que é dado pela fórmula:
Theta(t) = Theta-m cos(omega t + varphi)
Queremos encontrar o valor de Theta-m sabendo que o pêndulo tem 45 cm de comprimento e que a velocidade angular dThetadt = 3,4 , rad/s no instante t = 0, quando o fio está na vertical. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cinemática rotacional, especificamente relacionando deslocamento angular, velocidade angular e aceleração angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade angular é a derivada do deslocamento angular em relação ao tempo. Ou seja:
dThetadt = -Theta-m omega sin(omega t + varphi)
No instante t = 0, quando o fio está na vertical, podemos simplificar a expressão. Vamos assumir que varphi = 0 para facilitar, já que o deslocamento é máximo quando o pêndulo passa pela posição vertical.
Então, temos:
dThetadtg|t=0 = -Theta-m omega sin(varphi)
Com varphi = 0:
dThetadtg|t=0 = 0
No entanto, sabemos que a velocidade angular no instante t = 0 é 3,4 , rad/s. Isso sugere que a fase inicial varphi não é zero. Vamos redefinir a expressão considerando varphi como um parâmetro a ser encontrado.

Passo 3

Voltando à expressão geral da velocidade angular:
dThetadt = -Theta-m omega sin(omega t + varphi)
No instante t = 0:
dThetadtg|t=0 = -Theta-m omega sin(varphi) = 3,4 , rad/s
Precisamos também relacionar omega com o comprimento do pêndulo. Para um pêndulo simples, a frequência angular omega é dada por:
omega = raizgL
Onde:
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,8 , m/s^2)
  • L é o comprimento do pêndulo (0,45 m)

Passo 4

Calculando omega:
omega = raiz9,80,45 approx raiz21,78 approx 4,67 , rad/s
Agora, substituímos omega na equação da velocidade angular:
-Theta-m times 4,67 times sin(varphi) = 3,4

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para encontrar Theta-m:
Theta-m = -3,44,67 sin(varphi)
Para simplificar, consideramos sin(varphi) = 1 (quando varphi = pi2), o que maximiza o valor da velocidade angular. Assim:
Theta-m = -3,44,67 approx -0,73 , rad
Como o deslocamento angular é uma magnitude, consideramos o valor positivo:
Theta-m approx 0,73 , rad

Resposta

d. 0,73 , rad

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