Se a, b \in \mathbb{Z} prove que:
(c) a . b=0 \rightarrow a=0, ou b=0.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que no anel dos inteiros \mathbb{Z} não há divisores de zero, isto é, se dois inteiros a e b satisfazem
a\cdot b = 0
então necessariamente a=0 ou b=0. Vamos usar a noção de valor absoluto e uma propriedade elementar dos números não-negativos.
Passo 2
Lembremos que para quaisquer inteiros a e b vale
\bigl|a\cdot b\bigr| = |a| \,|b|\,.
Como a\cdot b=0, temos também
|a\cdot b| = |0| = 0,
logo
|a|\,|b| = 0.
Passo 3
Agora usemos o fato de que |a| e |b| são números inteiros não-negativos. Num conjunto de inteiros não-negativos, a única forma de um produto ser zero é que pelo menos um dos fatores seja zero. Ou seja, de
|a|\,|b| = 0
segue que |a|=0 ou |b|=0. Mas |a|=0 implica a=0, e |b|=0 implica b=0. Portanto concluímos que
a=0 \quad\text{ou}\quad b=0.
Resposta
Se a,b\in\mathbb{Z} e a\cdot b=0, então a=0 ou b=0.