b) \int \frac{2 x+4}{x^{2}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{2x+4}{x^2 - 1}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função racional, em que vamos usar reconhecimento de derivada de denominador e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Podemos separar a fração em duas partes. Primeiro escrevemos
\frac{2x+4}{x^2 - 1} = \frac{2x}{x^2 - 1} + \frac{4}{x^2 - 1},
e como a integral de soma é soma de integrais, temos
\int \frac{2x+4}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{2x}{x^2 - 1}\,dx \;+\; \int \frac{4}{x^2 - 1}\,dx.

Passo 3

Para
\int \frac{2x}{x^2 - 1}\,dx,
note que a derivada de x^2 - 1 é 2x. Então usamos
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\bigl|f(x)\bigr| + C,
com f(x)=x^2-1. Assim
\int \frac{2x}{x^2 - 1}\,dx = \ln\bigl|x^2 - 1\bigr|.

Passo 4

Agora focamos em
\int \frac{4}{x^2 - 1}\,dx.
Como x^2-1=(x-1)(x+1), vamos usar frações parciais. Supomos
\frac{4}{x^2 - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x^2-1
4 = A(x+1) + B(x-1).

Passo 5

Para achar A e B, avaliamos em pontos estratégicos:
quando x=1, 4 = A\cdot2 A=2;
quando x=-1, 4 = B\cdot(-2) B=-2.
Portanto
\frac{4}{x^2 - 1} = \frac{2}{x-1} \;-\; \frac{2}{x+1}.

Passo 6

Integramos cada termo separado:
\int \frac{2}{x-1}\,dx = 2 \ln\bigl|x-1\bigr|, \qquad \int \frac{-2}{x+1}\,dx = -2 \ln\bigl|x+1\bigr|.
Somando,
\int \frac{4}{x^2 - 1}\,dx = 2\ln\bigl|x-1\bigr| - 2\ln\bigl|x+1\bigr|.

Passo 7

Juntando as duas partes:
\int \frac{2x+4}{x^2 - 1}\,dx = \ln\bigl|x^2 - 1\bigr| \;+\; 2\ln\bigl|x-1\bigr| \;-\; 2\ln\bigl|x+1\bigr| \;+\; C.
Como \ln|x^2 - 1| = \ln|x-1| + \ln|x+1|, podemos simplificar para
3\ln\bigl|x-1\bigr| \;-\; \ln\bigl|x+1\bigr| + C \quad\text{ou}\quad \ln\!\Bigl|\frac{(x-1)^3}{x+1}\Bigr| + C.

Resposta

\int \frac{2x+4}{x^2 - 1}\,dx = \ln\bigl|x^2 - 1\bigr| + 2\ln\!\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr| + C.

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