(2,0 Pontos). Resolva a seguinte equação diferencial utilizando o método de coeficientes a determinar:
y^{\prime \prime}+y=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + y = e^x
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve dois blocos principais: (i) encontrar a solução geral y_h da equação homogênea associada, e (ii) encontrar uma solução particular y_p da não homogênea, somando-as para obter a solução geral.

Passo 2

Resolvemos primeiro a equação homogênea
y'' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 1 = 0
com raízes complexas r = \pm i. Logo, a solução homogênea é
y_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é e^x e e^x não é solução de y''+y=0, fazemos o palpite
y_p(x) = A e^x,
com A constante a determinar. Calculamos as derivadas:
y_p' = A e^x, \quad y_p'' = A e^x.

Passo 4

Substituindo em y'' + y = e^x, obtemos
y_p'' + y_p = A e^x + A e^x = 2A e^x \stackrel{!}{=} e^x.
Logo
2A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac12.
Portanto
y_p(x) = \tfrac12 e^x.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \tfrac12 e^x.

Resposta

y(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \tfrac12 e^x

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