(2,0 Pontos). Resolva a seguinte equação diferencial utilizando o método de coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve dois blocos principais: (i) encontrar a solução geral
da equação homogênea associada, e (ii) encontrar uma solução particular
da não homogênea, somando-as para obter a solução geral.
Passo 2
Resolvemos primeiro a equação homogênea
A equação característica é
com raízes complexas
. Logo, a solução homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a parte particular, como o termo não homogêneo é
e
não é solução de
, fazemos o palpite
com
constante a determinar. Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo em
, obtemos
Logo
Portanto
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma