a) \int \frac{x^{2}+2}{x(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2} + 2}{x\,(x+1)^{2}}\,dx.
Este é um caso típico de integração de função racional em que aplicamos o método de frações parciais para escrever o integrando como soma de termos mais simples que sabemos integrar.

Passo 2

Assumimos a forma
\frac{x^{2} + 2}{x\,(x+1)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x\,(x+1)^{2}, obtemos
x^{2} + 2 = A\,(x+1)^{2} + B\,x\,(x+1) + C\,x.

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A\,(x^{2} + 2x +1) + B\,(x^{2} + x) + C\,x = (A + B)\,x^{2} + (2A + B + C)\,x + A.
Igualando coeficientes a x^{2} + 0x + 2\), temos o sistema \[\begin{cases} A + B = 1,\\\\ 2A + B + C = 0,\\\ A = 2. \end{cases}
Logo A=2\]. Substituindo em \(A+B=1 B=-1. E em 2A+B+C=0 fica 4-1+C=0, ou seja C=-3.

Passo 4

Reescrevendo o integrando com esses valores:
\frac{x^{2} + 2}{x\,(x+1)^{2}} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{3}{(x+1)^{2}}.
Integramos termo a termo:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln\bigl|x\bigr|,\quad \int -\frac{1}{x+1}\,dx = -\ln\bigl|x+1\bigr|,\quad \int -\frac{3}{(x+1)^{2}}\,dx = -3\int (x+1)^{-2}\,dx = -3\bigl[-(x+1)^{-1}\bigr] = \frac{3}{x+1}.

Resposta

2\ln\bigl|x\bigr| \;-\;\ln\bigl|x+1\bigr|\;+\;\frac{3}{x+1} + C.

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