(2,0 Pontos). Resolva a seguinte equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros:
y^{\prime \prime}-y=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial \displaystyle y'' - y = e^x usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar encontrar primeiro a solução homogênea, depois o wronskiano das soluções fundamentais e aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' - y = 0,
a equação característica é
r^2 - 1 = 0,
cuja raízes são r = 1 e r = -1. Portanto, duas soluções lineares independentes são
y_1 = e^x \quad\text{e}\quad y_2 = e^{-x},
e a solução geral homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Calculamos o wronskiano de y_1 e y_2:
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^x & e^{-x}\\[3pt] e^x & -e^{-x} \end{vmatrix} = e^x(-e^{-x}) - e^x e^{-x} = -1 - 1 = -2.]

Passo 4

Pelo método de variação de parâmetros, buscamos
y_p = u_1(x)e^x + u_2(x)e^{-x},
com as derivadas satisfazendo o sistema equivalente às fórmulas
u_1' = -\frac{y_2\,g(x)}{W} \quad\text{e}\quad u_2' = \frac{y_1\,g(x)}{W},
onde g(x)=e^x. Assim,
u_1' = -\frac{e^{-x}\cdot e^x}{-2} = \frac12,
u_2' = \frac{e^x\cdot e^x}{-2} = -\frac12 e^{2x}.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1(x) = \int \frac12 \,dx = \frac{x}{2},
u_2(x) = \int \Bigl(-\frac12 e^{2x}\Bigr)\,dx = -\frac14 e^{2x}.

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1 e^x + u_2 e^{-x} = \frac{x}{2}e^x - \frac14 e^{2x}e^{-x} = \frac{x}{2}e^x - \frac14 e^x.
O termo -\tfrac14 e^x pode ser absorvido na constante C_1e^x da solução homogênea, restando como parte essencial
\tfrac{x}{2}e^x.

Passo 7

Portanto, a solução geral da equação não homogênea é
y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + \frac{x}{2}e^x.

Resposta

y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + \frac{x}{2}e^x.

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