Resolva o sistema: \left\{\begin{array}{l}\dot{x}=a_{11} x \\\ \dot{y}=a_{22} y\end{array}\right. com \left(a_{11}=a_{22}=0\right)

Passo 1

O enunciado pede a resolução do sistema de equações diferenciais lineares desacopladas
\begin{cases} \dot{x}=a_{11}\,x,\\\ \dot{y}=a_{22}\,y, \end{cases}
com a_{11}=a_{22}=0.
Aqui estamos tratando de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem com coeficiente constante, e como as equações são independentes, podemos resolvê-las separadamente.

Passo 2

Para a equação
\dot{x}=a_{11}\,x,
substituímos a_{11}=0, obtendo \dot{x}=0.
Isto significa que a taxa de variação de x em relação a t é nula, logo x é constante. Integrando, temos
\frac{dx}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad x(t)=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração, geralmente determinada pela condição inicial x(0).

Passo 3

Analogamente, para
\dot{y}=a_{22}\,y
com a_{22}=0, vem \dot{y}=0 e, integrando,
\frac{dy}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad y(t)=C_{2},
onde C_{2} é a constante de integração associada a y, normalmente igual a y(0).

Passo 4

Como as duas variáveis são independentes, a solução geral do sistema é a combinação das duas integrais constantes:
(x(t),\,y(t))=(C_{1},\,C_{2}).

Resposta

x(t)=C_{1},\quad y(t)=C_{2},
com C_{1} e C_{2} constantes determinadas pelas condições iniciais.

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