(b) A intensidade I de luz transmitida em um material em função da distância x percorrida dentro do material é dada pela equação I(x)=I0 e^-alpha x, em que I(x) é a intensidade em uma posição x qualquer, I0 é a intensidade na posição x=0 e alpha é o coeficiente de absorção da luz no meio considerado. Determine as unidades das constantes I0 e alpha no SI. (Obs.: a intensidade I(x) está normalizada, variando entre 0 e 1 , sendo que a unidade de I(x) é Candela, representada pelo símbolo cd.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a intensidade da luz que passa por um material em função da distância que ela percorre dentro desse material. A gente precisa descobrir quais são as unidades das constantes $ I_{0} $ e $ \alpha $ no Sistema Internacional (SI). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de física, especificamente sobre como unidades se relacionam em fórmulas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a fórmula que foi dada:
I(x) = I0 , e^-alpha x
Aqui, $ I(x) $ é a intensidade da luz em uma posição qualquer $ x $, $ I_{0} $ é a intensidade no ponto inicial $ x = 0 $, e $ \alpha $ é o coeficiente de absorção da luz no material.

Passo 3

Sabemos que $ I(x) $ está em candelas (cd) e varia de 0 a 1. Isso significa que $ I(x) $ tem unidades de candela. Como $ I(x) $ é igual a $ I_{0} $ vezes uma função exponencial, vamos entender as unidades envolvidas.

Passo 4

A função exponencial $ e^{-\alpha x} $ deve ser adimensional, ou seja, não tem unidades. Isso porque não dá para ter um expoente com unidades em uma expressão matemática. Portanto, o argumento da exponencial, $ -\alpha x $, também precisa ser adimensional.

Passo 5

Como $ x $ representa uma distância, sua unidade no SI é metro (m). Para que o produto $ \alpha x $ seja adimensional, $ \alpha $ precisa ter unidades inversas de metro. Isso quer dizer que:
x

Passo 6

Agora, voltando à equação original:
I(x) = I0 , e^-alpha x
Como $ e^{-\alpha x} $ é adimensional, $ I(x) $ e $ I_{0} $ devem ter as mesmas unidades para que a equação faça sentido dimensionamente. Sabemos que $ I(x) $ está em candelas, então:
e^-alpha x

Resposta

A constante $ I_{0} $ tem unidade de candela (cd) e a constante $ \alpha $ tem unidade de metro invertido ( I0 ) no Sistema Internacional (SI).

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