(b) A intensidade
de luz transmitida em um material em função da distância
percorrida dentro do material é dada pela equação
, em que
é a intensidade em uma posição
qualquer,
é a intensidade na posição
e
é o coeficiente de absorção da luz no meio considerado. Determine as unidades das constantes
e
no SI. (Obs.: a intensidade
está normalizada, variando entre 0 e 1 , sendo que a unidade de
é Candela, representada pelo símbolo cd.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a intensidade da luz que passa por um material em função da distância que ela percorre dentro desse material. A gente precisa descobrir quais são as unidades das constantes $ I_{0} $ e $ \alpha $ no Sistema Internacional (SI). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de física, especificamente sobre como unidades se relacionam em fórmulas matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a fórmula que foi dada:
Aqui, $ I(x) $ é a intensidade da luz em uma posição qualquer $ x $, $ I_{0} $ é a intensidade no ponto inicial $ x = 0 $, e $ \alpha $ é o coeficiente de absorção da luz no material.
Passo 3
Sabemos que $ I(x) $ está em candelas (cd) e varia de 0 a 1. Isso significa que $ I(x) $ tem unidades de candela. Como $ I(x) $ é igual a $ I_{0} $ vezes uma função exponencial, vamos entender as unidades envolvidas.
Passo 4
A função exponencial $ e^{-\alpha x} $ deve ser adimensional, ou seja, não tem unidades. Isso porque não dá para ter um expoente com unidades em uma expressão matemática. Portanto, o argumento da exponencial, $ -\alpha x $, também precisa ser adimensional.
Passo 5
Como $ x $ representa uma distância, sua unidade no SI é metro (m). Para que o produto $ \alpha x $ seja adimensional, $ \alpha $ precisa ter unidades inversas de metro. Isso quer dizer que:
Passo 6
Agora, voltando à equação original:
Como $ e^{-\alpha x} $ é adimensional, $ I(x) $ e $ I_{0} $ devem ter as mesmas unidades para que a equação faça sentido dimensionamente. Sabemos que $ I(x) $ está em candelas, então:
Resposta
A constante $ I_{0} $ tem unidade de candela (cd) e a constante $ \alpha $ tem unidade de metro invertido (
) no Sistema Internacional (SI).