(a) Uma partícula em movimento sobre o eixo
apresenta a seguinte equação de movimento:
, onde
representa a velocidade inicial da partícula e
é uma constante numérica. Determine as equações
e
.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente tem uma partícula se movendo ao longo do eixo
com uma equação que descreve sua posição em função do tempo:
Aqui,
é a velocidade inicial e
é uma constante numérica. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a velocidade
e a aceleração
dessa partícula em função do tempo. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
. Lembre-se que velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja:
Então, precisamos derivar a função
em relação a
.
Passo 3
Vamos reescrever a equação de
para facilitar a derivação:
Podemos simplificar o denominador:
Agora, vamos chamar
de
para simplificar a notação:
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Usamos a regra da derivada para funções do tipo
, que é:
Aplicando isso:
Substituindo
de volta por
:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar a aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, precisamos derivar a função que encontramos para
.
Passo 6
Vamos derivar
:
Nova vez, usamos a regra da derivada para funções da forma
:
Aplicando isso:
Resposta
As equações da velocidade e da aceleração em função do tempo são: