(a) Uma partícula em movimento sobre o eixo x apresenta a seguinte equação de movimento: x= v0[(v0 t / C)+1], onde v0 representa a velocidade inicial da partícula e C é uma constante numérica. Determine as equações v=v(t) e a=a(t).

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem uma partícula se movendo ao longo do eixo x com uma equação que descreve sua posição em função do tempo:
x(t) = v0(v0 tC + 1)
Aqui, v0 é a velocidade inicial e C é uma constante numérica. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a velocidade v(t) e a aceleração a(t) dessa partícula em função do tempo. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t). Lembre-se que velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja:
v(t) = dx(t)dt
Então, precisamos derivar a função x(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos reescrever a equação de x(t) para facilitar a derivação:
x(t) = v0(v0 tC + 1)
Podemos simplificar o denominador:
x(t) = v0(v0C t + 1)
Agora, vamos chamar v0C de k para simplificar a notação:
x(t) = v0k t + 1

Passo 4

Agora, derivamos x(t) em relação a t para encontrar v(t):
v(t) = dx(t)dt = ddt ( v0k t + 1 )
Usamos a regra da derivada para funções do tipo ABt + C, que é:
ddt ( ABt + C ) = -A B(Bt + C)^2
Aplicando isso:
v(t) = -v0 cdot k(k t + 1)^2
Substituindo k de volta por v0C:
v(t) = -v0 cdot v0C(v0C t + 1)^2 = -v0^2C (v0C t + 1)^2

Passo 5

Agora que temos v(t), vamos encontrar a aceleração a(t). A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Então, precisamos derivar a função que encontramos para v(t).

Passo 6

Vamos derivar v(t):
v(t) = -v0^2C (v0C t + 1)^2
Nova vez, usamos a regra da derivada para funções da forma A(Bt + C)^2:
ddt ( A(Bt + C)^2 ) = -2 A B(Bt + C)^3
Aplicando isso:
a(t) = -2 v0^2 cdot v0CC (v0C t + 1)^3 = -2 v0^3C^2 (v0C t + 1)^3

Resposta

As equações da velocidade e da aceleração em função do tempo são:
v(t) = -v0^2C (v0C t + 1)^2
a(t) = -2 v0^3C^2 (v0C t + 1)^3

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