Considere a região plana limitada pela reta y=3 x-2, o eixo x e as retas x=1 e x=4.
Determine o volume do sólido de revolução obtido quando gira-se a região em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido formado quando a região delimitada pela reta $ y = 3x - 2 $, o eixo $ x $, e as retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $ gira em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. A reta $ y = 3x - 2 $ corta o eixo $ x $ quando $ y = 0 $. Vamos encontrar esse ponto:
y = 3x - 2
x
y = 0
Mas como estamos limitando entre $ x = 1 $ e $ x = 4 $, só vamos considerar essa parte da reta que está entre esses valores de $ x $.

Passo 3

Para aplicar o método dos discos, vamos considerar uma fatia infinitesimal da região com uma espessura $ \Delta x $ em um ponto $ x $. Quando giramos essa fatia em torno do eixo $ x $, ela forma um disco com raio igual a $ y = 3x - 2 $ e espessura $ \Delta x $.

Passo 4

A área desse disco é dada por $ \pi r^2 $, onde $ r = 3x - 2 $. Então, a área do disco é:
pi r^2

Passo 5

Para encontrar o volume total, vamos integrar essa área de $ x = 1 $ a $ x = 4 $:
x = 1

Passo 6

Vamos expandir $ (3x - 2)^2 $:
(3x - 2)^2
Então, a integral fica:
(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral (9x^2 - 12x + 4) , dx = 9 cdot x^33 - 12 cdot x^22 + 4x + C
= 3x^3 - 6x^2 + 4x + C

Passo 8

Agora, avaliamos a integral definida de $ 1 $ a $ 4 $:
1
4
V = pi [ 3(4)^3 - 6(4)^2 + 4(4) - (3(1)^3 - 6(1)^2 + 4(1)) ]
V = pi [ 3(64) - 6(16) + 16 - (3 - 6 + 4) ]

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ 111\pi $ unidades cúbicas.

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