Considere a região plana limitada pela reta
, o eixo
e as retas
e
.
Determine o volume do sólido de revolução obtido quando gira-se a região em torno do eixo
.
Determine o volume do sólido de revolução obtido quando gira-se a região em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido formado quando a região delimitada pela reta $ y = 3x - 2 $, o eixo $ x $, e as retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $ gira em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. A reta $ y = 3x - 2 $ corta o eixo $ x $ quando $ y = 0 $. Vamos encontrar esse ponto:
Mas como estamos limitando entre $ x = 1 $ e $ x = 4 $, só vamos considerar essa parte da reta que está entre esses valores de $ x $.
Passo 3
Para aplicar o método dos discos, vamos considerar uma fatia infinitesimal da região com uma espessura $ \Delta x $ em um ponto $ x $. Quando giramos essa fatia em torno do eixo $ x $, ela forma um disco com raio igual a $ y = 3x - 2 $ e espessura $ \Delta x $.
Passo 4
A área desse disco é dada por $ \pi r^2 $, onde $ r = 3x - 2 $. Então, a área do disco é:
Passo 5
Para encontrar o volume total, vamos integrar essa área de $ x = 1 $ a $ x = 4 $:
Passo 6
Vamos expandir $ (3x - 2)^2 $:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Agora, avaliamos a integral definida de $ 1 $ a $ 4 $:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ 111\pi $ unidades cúbicas.