Se
é a inversa de
, mostre que
é a inversa de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é a inversa de
. Isso significa
Queremos mostrar que
é a inversa de
, ou seja,
Passo 2
Note que
comuta com qualquer potência de si mesmo:
Pelo fato geral em álgebra de matrizes – se uma matriz
comuta com
e
é invertível, então
também comuta com
– segue que, como
comuta com
e é invertível com inversa
, temos
Passo 3
Agora usamos a comutatividade
para verificar as duas condições de inversão:
pois
.
novamente usando
e
.
Resposta
Como mostramos que
concluímos que
é de fato a inversa de
.