Se B é a inversa de A^2, mostre que A B é a inversa de A.

Passo 1

O enunciado diz que B é a inversa de A^2. Isso significa
A^2 B = I e B A^2 = I
Queremos mostrar que AB é a inversa de A, ou seja,
A,(AB)=I e (AB),A=I

Passo 2

Note que A comuta com qualquer potência de si mesmo:
A,A^2 = A^2,A
Pelo fato geral em álgebra de matrizes – se uma matriz C comuta com D e C é invertível, então C^-1 também comuta com D – segue que, como A^2 comuta com A e é invertível com inversa B, temos
A,B = B,A

Passo 3

Agora usamos a comutatividade AB=BA para verificar as duas condições de inversão:
A,(AB) = (A^2),B = I,
pois A^2 B=I.
(AB),A = A,(B,A) = A,(A,B) = (A^2),B = I,
novamente usando AB=BA e A^2B=I.

Resposta

Como mostramos que
A,(AB)=I e (AB),A=I,
concluímos que AB é de fato a inversa de A.

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