QUESTÃO 2 (VALOR: 3 PONTOS)
Sejam A in R^n times n uma matriz quadrada de ordem n, In a matriz identidade de mesma ordem, e lambda in R um escalar. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir como verdadeiros (V) ou falsos (F):
I. ( ) O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
II. ( ) Se det(A)=0, então a matriz A é invertivel.
III. () Para todo escalar lambda, vale que det(lambda A)=lambda cdot det(A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas, determinantes e algumas propriedades relacionadas. A gente vai precisar entender o que é determinante, matriz triangular, matriz inversível e como o determinante se comporta quando a matriz é multiplicada por um escalar. Vamos analisar cada item para ver se é verdadeiro ou falso.

Passo 2

Item I: “O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.”
Vamos entender isso. Uma matriz triangular é aquela que tem todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal iguais a zero. Por exemplo, uma matriz triangular superior. A propriedade importante aqui é que o determinante de uma matriz triangular é realmente o produto dos elementos da diagonal principal. Isso porque, ao calcular o determinante, muitas vezes usamos expansões que, para matrizes triangulares, simplificam justamente para esse produto.
Então, Item I é Verdadeiro (V).

Passo 3

Item II: “Se det(A) = 0, então a matriz A é invertível.”
Vamos relembrar: uma matriz é invertível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. Uma propriedade fundamental dos determinantes é que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Se det(A) = 0, isso significa que a matriz não tem inversa.
Então, Item II é Falso (F).

Passo 4

Item III: “Para todo escalar λ, vale que det(λA) = λ * det(A).”
Essa afirmação está meio fora do ponto. Na verdade, quando você multiplica uma matriz A por um escalar λ, o determinante de λA não é simplesmente λ vezes o determinante de A. A propriedade correta é que det(λA) = λⁿ * det(A), onde n é a ordem da matriz (ou seja, o número de linhas ou colunas). Então, a afirmação que está dizendo que é só λ * det(A) está errada, a gente precisa elevar λ à potência n.
Então, Item III é Falso (F).

Resposta

I. (V)
II. (F)
III. (F)

Exercícios relacionados