Se o produto M=A B C de três matrizes quadradas é invertível, então B é invertível. (Assim como A e C.) Encontre uma fórmula para B^-1 que envolva M^-1, A e C.

Passo 1

O enunciado diz que temos três matrizes quadradas A, B, C tais que
M = A,B,C
e que M é invertível. O que precisamos aqui é da propriedade de inversão de produto de matrizes: se duas matrizes são invertíveis, seu produto também é, e
(X,Y)^-1 = Y^-1X^-1
Esse resultado generaliza a três fatores de modo natural.

Passo 2

Aplicando a propriedade de inversão de produto a M = A,B,C, obtemos
M^-1 = (A,B,C)^-1 = C^-1,B^-1,A^-1

Passo 3

Agora basta isolar B^-1 na expressão acima. Para isso, multiplicamos à esquerda por C e à direita por A:
C,M^-1,A = C,(C^-1,B^-1,A^-1),A = (C,C^-1),B^-1,(A^-1A) = I,B^-1,I = B^-1

Resposta

B^-1 = C,M^-1,A

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