Multiplique [lla & b c & d] vezes [ll-d & b -c & a]. Qual é a inversa de cada matriz se a d neq b c ?

Passo 1

O enunciado pede para multiplicar as matrizes
A = a & b c & d
e
B = -d & b -c & a
e, em seguida, determinar a inversa de cada uma, sob a condição ad neq bc. Vamos usar a regra de multiplicação de matrizes 2times2 e a fórmula da inversa baseada em determinante e adjunta.

Passo 2

Para calcular AB aplicamos a definição de produto de matrizes:
(AB)11 = a(-d) + b(-c), (AB)12 = a,b + b,a
(AB)21 = c(-d) + d(-c), (AB)22 = c,b + d,a

Passo 3

Simplificando cada entrada (note que ba=ab e dc=cd):
AB = -(ad + bc) & 2ab -2cd & ad + bc

Passo 4

A inversa de uma matriz 2times2
a & b c & d
é dada por
1ad - bc d & -b -c & a ,
desde que ad - bc neq 0. Logo,
A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a

Passo 5

Para
B = -d & b -c & a
temos
det(B) = (-d),a - b(-c) = -ad + bc = -(ad - bc)
A adjunta de B é
a & -b c & -d
Portanto,
B^-1 = 1det(B),adj(B) = 1-(ad - bc) a & -b c & -d = 1ad - bc -,a & b -,c & d

Resposta

AB = -(ad + bc) & 2ab -2cd & ad + bc
A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
B^-1 = 1ad - bc -,a & b -,c & d

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