Dada a matriz A=[lll0 & 3 & 0 3 & 0 & 4 0 & 4 & 0], determine:
(b) Todos os autovalores de A.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os autovalores da matriz
A = 0 & 3 & 0 3 & 0 & 4 0 & 4 & 0
Para isso, vamos usar o conceito de autovalor de uma matriz quadrada e resolver a equação característica det(A - lambda I)=0.

Passo 2

Escrevemos a matriz A - lambda I e montamos o determinante:
A - lambda I = -lambda & 3 & 0 3 & -lambda & 4 0 & 4 & -lambda , det(A - lambda I) = -lambda & 3 & 0 3 & -lambda & 4 0 & 4 & -lambda

Passo 3

Calculamos esse determinante por expansão na primeira linha:
det(A - lambda I) = (-lambda)det-lambda & 4 4 & -lambda -3det3 & 4 0 & -lambda +0
A primeira parte é
(-lambda)l[(-lambda)(-lambda)-4cdot4r] = -lambda(lambda^2 - 16),
e a segunda parte é
-3l[3cdot(-lambda)-0r] = -3(-3lambda) = 9lambda
Somando,
det(A - lambda I) = -lambda(lambda^2 - 16) + 9lambda = -lambda^3 + 16lambda + 9lambda = -lambda^3 + 25lambda

Passo 4

Igualamos a zero para encontrar os autovalores:
-lambda^3 + 25lambda = 0 Long<=ftrightarrow lambda(-lambda^2 + 25) = 0 Long<=ftrightarrow lambda(lambda^2 - 25) = 0
Logo, as raízes são lambda = 0 e lambda^2 = 25, ou seja lambda = pm5.

Resposta

Os autovalores de A são
lambda1 = -5, lambda2 = 0 e lambda3 = 5.

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