b) Se no lugar da bola maciça tivéssemos uma esfera ou o cilindro maciço, todos com mesma massa e mesmo raio, qual deles chegaria primeiro ao solo?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. A pergunta é: “Se no lugar da bola maciça tivéssemos uma esfera ou o cilindro maciço, todos com mesma massa e mesmo raio, qual deles chegaria primeiro ao solo?”. Isso está relacionado ao estudo do Movimento Rotacional e Cinética Rotacional. Para resolver, vamos precisar entender como diferentes objetos rolando têm diferentes acelerações dependendo de sua forma e distribuição de massa.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que quando objetos rolam sem deslizar, a aceleração com que descem uma rampa depende do momento de inércia deles. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao seu eixo de rotação. Quanto menor o momento de inércia, mais rápido o objeto acelera.
A fórmula para o momento de inércia ($ I $) para alguns objetos comuns é:
- Esfera Sólida: $ I = \frac{2}{5}MR^2 $
- Cilindro Maciço: $ I = \frac{1}{2}MR^2 $
Onde:
- $ M $ é a massa
- $ R $ é o raio
Passo 3
Agora, vamos ver como isso afeta a aceleração. A aceleração ($ a $) de um objeto rolando sem deslizar desce uma rampa inclinada com um ângulo $ \theta $ dada por:
Substituindo os momentos de inércia:
-
Esfera Sólida:
-
Cilindro Maciço:
Passo 4
Comparando as acelerações:
- $ \frac{5}{7} \approx 0,714 $
- $ \frac{2}{3} \approx 0,666 $
A esfera sólida tem uma aceleração maior que o cilindro maciço. Isso significa que, descendo a mesma rampa, a esfera sólida vai acelerar mais rápido e, portanto, chegará ao solo antes do cilindro.
Resposta
A esfera sólida chega primeiro ao solo, seguida pelo cilindro maciço.