b) Se no lugar da bola maciça tivéssemos uma esfera ou o cilindro maciço, todos com mesma massa e mesmo raio, qual deles chegaria primeiro ao solo?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. A pergunta é: “Se no lugar da bola maciça tivéssemos uma esfera ou o cilindro maciço, todos com mesma massa e mesmo raio, qual deles chegaria primeiro ao solo?”. Isso está relacionado ao estudo do Movimento Rotacional e Cinética Rotacional. Para resolver, vamos precisar entender como diferentes objetos rolando têm diferentes acelerações dependendo de sua forma e distribuição de massa.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que quando objetos rolam sem deslizar, a aceleração com que descem uma rampa depende do momento de inércia deles. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao seu eixo de rotação. Quanto menor o momento de inércia, mais rápido o objeto acelera.
A fórmula para o momento de inércia ($ I $) para alguns objetos comuns é:
  • Esfera Sólida: $ I = \frac{2}{5}MR^2 $
  • Cilindro Maciço: $ I = \frac{1}{2}MR^2 $
Onde:
  • $ M $ é a massa
  • $ R $ é o raio

Passo 3

Agora, vamos ver como isso afeta a aceleração. A aceleração ($ a $) de um objeto rolando sem deslizar desce uma rampa inclinada com um ângulo $ \theta $ dada por:
a
Substituindo os momentos de inércia:
  • Esfera Sólida:
    theta
  • Cilindro Maciço:
    a = g sin(theta)1 + IMR^2

Passo 4

Comparando as acelerações:
  • $ \frac{5}{7} \approx 0,714 $
  • $ \frac{2}{3} \approx 0,666 $
A esfera sólida tem uma aceleração maior que o cilindro maciço. Isso significa que, descendo a mesma rampa, a esfera sólida vai acelerar mais rápido e, portanto, chegará ao solo antes do cilindro.

Resposta

A esfera sólida chega primeiro ao solo, seguida pelo cilindro maciço.

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