As partículas A e B movem-se no plano x y e seus vetores de posição são rA=3,0 t i+(2,0 t-t^2) j e rB=(t+2 t^2) i-t^2 j, para t >= 0, em unidades S.I. Determine, em t=1,5 s, a velocidade relativa entre elas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas partículas, A e B, que estão se movendo no plano xy. As posições delas em função do tempo são dadas por:
rA = 3,0, t, i + (2,0, t - t^2), j
rB = (t + 2, t^2), i - t^2, j
O que precisamos encontrar é a velocidade relativa entre as duas partículas no instante $ t = 1,5, \mathrm{s} $. Para isso, vamos precisar saber sobre vetores de posição, derivadas para encontrar a velocidade e, finalmente, como calcular a velocidade relativa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade de uma partícula é a derivada do seu vetor de posição em relação ao tempo. Ou seja, se r(t) é a posição, então a velocidade v(t) é dada por:
v(t) = dr(t)dt
Vamos calcular as velocidades de A e B derivando as posições dadas.

Passo 3

Calculando a velocidade de A:
A posição de A é:
rA = 3,0, t, i + (2,0, t - t^2), j
Derivando em relação ao tempo:
vA = drAdt = 3,0, i + (2,0 - 2, t), j

Passo 4

Calculando a velocidade de B:
A posição de B é:
rB = (t + 2, t^2), i - t^2, j
Derivando em relação ao tempo:
vB = drBdt = (1 + 4, t), i - 2, t, j

Passo 5

Agora que temos as expressões para as velocidades de A e B, vamos calcular cada uma delas no instante $ t = 1,5, \mathrm{s} $.
Velocidade de A em $ t = 1,5, \mathrm{s} $:
t = 1,5, s
Velocidade de B em $ t = 1,5, \mathrm{s} $:
t = 1,5, s

Passo 6

A velocidade relativa de A em relação a B é dada pela diferença entre as velocidades de A e B:
vrelativa = vA - vB
Vamos calcular isso usando as velocidades que encontramos:
vrelativa = (3,0, i - 1,0, j) - (7,0, i - 3,0, j)
vrelativa = (3,0 - 7,0), i + (-1,0 + 3,0), j = -4,0, i + 2,0, j

Resposta

A velocidade relativa entre as partículas A e B em $ t = 1,5, \mathrm{s} $ é:
t = 1,5, s

Exercícios relacionados