As partículas A e B movem-se no plano x y e seus vetores de posição são rA=3,0 t i+(2,0 t-t^2) j e rB=(t+2 t^2) i-t^2 j, para t >= 0, em unidades S.I. Determine, em t=1,5 s, a distância entre as partículas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas partículas, A e B, que estão se movendo no plano xy. As posições delas em qualquer instante de tempo t são dadas pelas funções vetoriais:
rA = 3,0 t, i + (2,0 t - t^2), j
rB = (t + 2 t^2), i - t^2, j
O que queremos descobrir é qual é a distância entre essas duas partículas no instante t = 1,5 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no plano, calcular as posições das partículas nesse tempo específico e depois encontrar a distância entre esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a posição da partícula A no tempo t = 1,5 s. Vamos substituir t na expressão de rA:
rA = 3,0 times 1,5, i + (2,0 times 1,5 - (1,5)^2), j
Calculando cada componente:
xA = 3,0 times 1,5 = 4,5, m
yA = 2,0 times 1,5 - (1,5)^2 = 3,0 - 2,25 = 0,75, m
Então, a posição de A é:
rA = 4,5, i + 0,75, j, m

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição da partícula B no tempo t = 1,5 s, substituindo t na expressão de rB:
rB = (1,5 + 2 times (1,5)^2), i - (1,5)^2, j
Calculando cada componente:
xB = 1,5 + 2 times 2,25 = 1,5 + 4,5 = 6,0, m
yB = - (1,5)^2 = -2,25, m
Então, a posição de B é:
rB = 6,0, i - 2,25, j, m

Passo 4

Agora que temos as posições de A e B no mesmo instante de tempo, podemos encontrar o vetor que vai de A até B, que é a diferença entre rB e rA:
d = rB - rA = (6,0 - 4,5), i + (-2,25 - 0,75), j
Calculando cada componente:
d = 1,5, i - 3,0, j, m

Passo 5

Para encontrar a distância entre as partículas A e B, precisamos calcular o módulo (ou tamanho) do vetor d. A fórmula para o módulo de um vetor d = a, i + b, j é:
|d| = raiza^2 + b^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|d| = raiz(1,5)^2 + (-3,0)^2 = raiz2,25 + 9,0 = raiz11,25
Calculando a raiz quadrada:
|d| approx 3,35, m

Resposta

A distância entre as partículas A e B em t = 1,5 segundos é aproximadamente 3,35, metros.

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