(b) Se P é a matriz de projeção 3 por 3 na reta que passa por (1,1,1), então I-P é a matriz de projeção em .

Passo 1

O enunciado diz que P é a matriz de projeção ortogonal em R^3 sobre a reta que passa por (1,1,1), isto é, sobre o subespaço
S = span(1,1,1)
Queremos descobrir em qual subespaço I - P projeta.

Passo 2

Uma propriedade geral das projeções ortogonais é: se P projeta em S, então
I - P
projeta em
S^perp,
o complemento ortogonal de S. Portanto, I-P é a projeção ortogonal em S^perp.

Passo 3

O complemento ortogonal de
span(1,1,1)
é o conjunto de todos os vetores ortogonais a (1,1,1), isto é,
S^perp = (x,y,z)inR^3 mid (x,y,z)cdot(1,1,1)=0
ou seja,
S^perp = (x,y,z)inR^3 mid x + y + z = 0

Resposta

I-P é a matriz de projeção ortogonal no plano
(x,y,z)inR^3 mid x + y + z = 0

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